Найдите стороны треугольника, если его периметр равен и боковая сторона делится точкой касания вписанной окружности

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть стороны треугольника обозначены как \(a\), \(b\) и \(c\), а \(r\) -- радиус вписанной окружности.

Согласно условию, периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\[P = a + b + c\]

Также, известно, что боковая сторона треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5.

Это означает, что длина стороны \(b\) является суммой двух отрезков: первый отрезок равен \(\frac{4}{4+5}\) от длины бокового отрезка, а второй -- \(\frac{5}{4+5}\) от длины бокового отрезка.

Таким образом, можем записать:

\[b = \frac{4}{4+5}x + \frac{5}{4+5}x = \frac{4}{9}x + \frac{5}{9}x = \frac{4x+5x}{9} = \frac{9x}{9} = x\]

где \(x\) -- длина бокового отрезка, а \(b\) -- длина стороны треугольника.

Теперь выразим остальные стороны треугольника через \(x\).

Так как каждая сторона треугольника расположена между основанием и точкой касания вписанной окружности, длина каждой стороны является суммой длин основания и соответствующего бокового отрезка:

\[a = x + \frac{4}{9}x = \frac{9}{9}x + \frac{4}{9}x = \frac{13}{9}x\]

\[c = x + \frac{5}{9}x = \frac{9}{9}x + \frac{5}{9}x = \frac{14}{9}x\]

Таким образом, мы получили формулы для каждой стороны треугольника через переменную \(x\):

\[a = \frac{13}{9}x\]
\[b = x\]
\[c = \frac{14}{9}x\]

Для удобства, вы можете проверить, что сумма длин сторон треугольника равна его периметру:

\[a + b + c = \frac{13}{9}x + x + \frac{14}{9}x = \frac{13x+9x+14x}{9} = \frac{36x}{9} = 4x\]

Из этого следует, что длина каждой стороны треугольника равна \(x\), а периметр треугольника равен \(4x\).