Каков объем пирамиды SABC, основой которой является правильный треугольник ABC со стороной 6, а боковая сторона

Чтобы найти объем пирамиды SABC, нам потребуется знать формулу для расчета объема пирамиды, а также постепенно решить весь вопрос, чтобы ответ был понятен и полноценен для школьника.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
\[V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Так как основанием пирамиды является правильный треугольник ABC, и сторона равна 6, площадь основания можно вычислить так:
\[S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4},\]
где \(a\) - длина стороны правильного треугольника. Подставим значения:
\[S_{\text{осн}} = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{1} = 9\sqrt{3}.\]

Теперь нам нужно узнать высоту пирамиды \(h\). Мы знаем, что боковая сторона SA перпендикулярна основанию и равна \(6\sqrt{3}\). Так как боковая сторона является высотой бокового треугольника SAB и образует с основанием SAB прямой угол, то получаем прямоугольный треугольник SAB.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды:
\[h^2 = SA^2 - AB^2,\]
где \(SA = 6\sqrt{3}\) - боковая сторона, а \(AB = 3\) - половина основания треугольника ABC.

Подставляем значения:
\[h^2 = (6\sqrt{3})^2 - 3^2 = 108 - 9 = 99.\]
\[\Rightarrow h = \sqrt{99}.\]

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы найти объем пирамиды:
\[V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{99}.\]

Далее, чтобы выполнить вычисления, мы можем просто перемножить числитель и знаменатель вместе:
\[V_{\text{пир}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{99}}{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{99}.\]

Теперь мы можем упростить это выражение, применив свойство квадратного корня \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\):
\[V_{\text{пир}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{99} = 3\sqrt{3 \cdot 99}.\]

Продолжим упрощение:
\[V_{\text{пир}} = 3\sqrt{297}.\]

Поскольку 297 можно представить в виде произведения 9 и 33, то мы можем записать:
\[V_{\text{пир}} = 3\sqrt{9 \cdot 33}.\]

Используем свойство квадратного корня еще раз:
\[V_{\text{пир}} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{33}.\]

Поскольку квадратный корень из 9 равен 3, то:
\[V_{\text{пир}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{33} = 9\sqrt{33}.\]

Таким образом, объем пирамиды SABC равен \(9\sqrt{33}\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам лучше понять, как найти объем данной пирамиды и как сделать это понятным школьнику. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!