Каков объем пирамиды с основанием в виде прямоугольника ABCD, где AB ┴ (ACD), AC = 10 см, AD = 6 см, и двугранный угол

Чтобы найти объем пирамиды, нам понадобится формула:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h, \]

где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Для начала, посмотрим на основание пирамиды, которое является прямоугольником ABCD. Мы знаем, что \( AC = 10 \) см и \( AD = 6 \) см. Чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину на ширину:

\[ S_{\text{основания}} = AB \times AC = AB \times AD. \]

Теперь нам нужно найти длину AB. Для этого введем точку E на прямой CD такую, чтобы CE было перпендикулярно AB. Обратите внимание, что у нас имеется двугранный угол, и мы знаем, что между плоскостями KDC и ADC он равен 60 градусам.

Из этого мы можем заключить, что угол CED также равен 60 градусам. Теперь у нас угол CED является равнобедренным, потому что CE равно ED (из-за перпендикулярности).

Теперь мы можем использовать триугольник CED для решения. У нас есть известная сторона CE равная 10 см и равнобедренный угол CED равный 60 градусам. Чтобы найти AB (требуемую длину прямоугольника), нам понадобится рассмотреть прямоугольный треугольник CEB, где \( CB = AD = 6 \) см, а угол CEB равен 30 градусам (половина угла CED).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс, чтобы найти длину AB:

\[ \tan(\text{угол CEB}) = \frac{CE}{CB} \]

\[ \tan(30\degree) = \frac{10}{6} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{10}{6} \]

\[ AB = \frac{CE}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Теперь, когда у нас есть значение AB, мы можем найти площадь основания пирамиды:

\[ S_{\text{основания}} = AB \times AD = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right) \times 6 \]

Теперь, осталось найти высоту пирамиды. Мы знаем, что двугранный угол между плоскостями KDC и ADC равен 60 градусам. Поскольку CE является высотой пирамиды, мы можем рассмотреть треугольник CDE и использовать тригонометрическую функцию синус:

\[ \sin(60\degree) = \frac{CE}{CD} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CE}{6} \]

\[ CE = \frac{\sqrt{3} \times 6}{2} = 3\sqrt{3} \]

Таким образом, \( CE = 3\sqrt{3} \) см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right) \times 6 \times 3\sqrt{3} \]

\[ V = 6\sqrt{3} \times \frac{10}{\sqrt{3}} \times 3 \]

\[ V = 60 \]

Итак, объем пирамиды равен 60 кубическим сантиметрам.