Каков объем пирамиды с основанием в виде прямоугольника ABCD, где AB ┴ (ACD), AC = 10 см, AD = 6 см, и двугранный угол

Чтобы найти объем пирамиды, нам понадобится формула:

$$V=\frac{1}{3}\times S_{\text{основания}}\times h,$$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды.

Для начала, посмотрим на основание пирамиды, которое является прямоугольником ABCD. Мы знаем, что $AC=10$ см и $AD=6$ см. Чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину на ширину:

$$S_{\text{основания}}=AB\times AC=AB\times AD.$$

Теперь нам нужно найти длину AB. Для этого введем точку E на прямой CD такую, чтобы CE было перпендикулярно AB. Обратите внимание, что у нас имеется двугранный угол, и мы знаем, что между плоскостями KDC и ADC он равен 60 градусам.

Из этого мы можем заключить, что угол CED также равен 60 градусам. Теперь у нас угол CED является равнобедренным, потому что CE равно ED (из-за перпендикулярности).

Теперь мы можем использовать триугольник CED для решения. У нас есть известная сторона CE равная 10 см и равнобедренный угол CED равный 60 градусам. Чтобы найти AB (требуемую длину прямоугольника), нам понадобится рассмотреть прямоугольный треугольник CEB, где $CB=AD=6$ см, а угол CEB равен 30 градусам (половина угла CED).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс, чтобы найти длину AB:

$$\tan (\text{угол CEB})=\frac{CE}{CB}$$

$$\tan (30\text{degree})=\frac{10}{6}$$

$$\sqrt{3}=\frac{10}{6}$$

$$AB=\frac{CE}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}$$

Теперь, когда у нас есть значение AB, мы можем найти площадь основания пирамиды:

$$S_{\text{основания}}=AB\times AD=\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)\times 6$$

Теперь, осталось найти высоту пирамиды. Мы знаем, что двугранный угол между плоскостями KDC и ADC равен 60 градусам. Поскольку CE является высотой пирамиды, мы можем рассмотреть треугольник CDE и использовать тригонометрическую функцию синус:

$$\sin (60\text{degree})=\frac{CE}{CD}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CE}{6}$$

$$CE=\frac{\sqrt{3}\times 6}{2}=3\sqrt{3}$$

Таким образом, $CE=3\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\times S_{\text{основания}}\times h$$

$$V=\frac{1}{3}\times \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)\times 6\times 3\sqrt{3}$$

$$V=6\sqrt{3}\times \frac{10}{\sqrt{3}}\times 3$$

$$V=60$$

Итак, объем пирамиды равен 60 кубическим сантиметрам.