Каков объем пирамиды, основание которой представляет собой ромб с большей диагональю, равной 12 см, и острым углом

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

1. Найдем площадь основания пирамиды.
а) Основание пирамиды — ромб. Для ромба площадь можно вычислить по формуле: \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали ромба.
б) В данной задаче у нас известна большая диагональ, которая равна 12 см. Малую диагональ можно найти, зная острый угол ромба, который равен 60 градусов.
в) Для нахождения малой диагонали можно использовать следующую формулу: \(d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\), где \(\alpha\) - значение острого угла ромба.
г) Подставим известные значения: \(d_1 = 12\) см и \(\alpha = 60\) градусов. Вычислим малую диагональ:
\[d_2 = \sqrt{2} \cdot 12 \cdot \sin(\frac{60}{2}) = 12 \sqrt{2} \cdot \sin(30) = 12 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 6 \sqrt{2}.\]
д) Теперь можем найти площадь основания:
\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 6 \sqrt{2}}{2} = 36 \sqrt{2}.\]

2. Найдем высоту пирамиды.
а) Двугранные углы при основании пирамиды равны 45 градусов. Зная это, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, полученный в результате деления пирамиды на два равнобедренных треугольника.
б) У нас есть острый угол треугольника, который равен 45 градусов, и половина малой диагонали, которую мы найдем в предыдущем пункте (это будет катет треугольника). Найдем гипотенузу треугольника.
в) Для этого можем использовать теорему Пифагора: \(h = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(h\) — высота пирамиды, \(a\) и \(b\) — катеты треугольника.
г) Подставим известные значения: \(a = b = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}\). Вычислим высоту:
\[h = \sqrt{(3 \sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6.\]

3. Найдем объем пирамиды.
а) Объем пирамиды можно вычислить по формуле: \(V = \frac{S \cdot h}{3}\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота пирамиды.
б) Подставим известные значения: \(S = 36 \sqrt{2}\), \(h = 6\). Вычислим объем:
\[V = \frac{36 \sqrt{2} \cdot 6}{3} = 72 \sqrt{2}\].

Итак, объем пирамиды составляет \(72 \sqrt{2}\) кубических сантиметра.