Каков объем параллелепипеда, если у него есть квадратное основание со стороной 4 см, боковое ребро равно 6√2

Чтобы найти объем параллелепипеда, мы должны знать его основание, а также высоту или одну из сторон. В данной задаче у нас есть основание - квадрат со стороной 4 см. Теперь нам нужно найти высоту параллелепипеда.

Мы знаем, что боковое ребро образует углы по 60 градусов с двумя соседними ребрами. Давайте нарисуем параллелепипед и обозначим известные данные:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & & & & \\
& & & & \text{R} & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& \text{A} & & & & & \\
\end{array}
\]

Где \(A\) - вершина параллелепипеда, \(R\) - боковое ребро.

Также обратите внимание, что у параллелепипеда есть еще два подобных боковых ребра. Давайте обозначим их:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & & & & \\
&D & & & & & C \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
&A & &B & & & \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что \(AD = BC = 6\sqrt{2}\) см и угол между \(AD\) и \(AB\) равен 60 градусам.

Теперь, чтобы найти высоту \(AR\) параллелепипеда, мы можем использовать трикутник \(ADR\). Этот треугольник - прямоугольный треугольник, потому что один из его углов равен 90 градусам, а другой - 60 градусам.

Мы знаем, что угол \(DAR\) равен 60 градусам, поэтому угол \(DRA\) также будет равен 60 градусам.

Теперь давайте применим тригонометрическое соотношение тангенса в треугольнике \(ADR\):

\[
\tan(60^\circ) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}
\]

Мы ищем противоположный катет \(AR\) и прилежащий катет \(AD\):

\[
\tan(60^\circ) = \frac{{AR}}{{AD}}
\]

Так как \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), мы можем записать:

\[
\sqrt{3} = \frac{{AR}}{{6\sqrt{2}}}
\]

Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[
\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{{AR}}{{6}}
\]

Упрощая, получим:

\[
\sqrt{6} = \frac{{AR}}{{6}}
\]

А теперь выразим \(AR\):

\[
AR = 6 \cdot \sqrt{6}
\]

Теперь у нас есть длины всех сторон параллелепипеда: \(AB = 4\) см, \(AD = 6\sqrt{2}\) см и \(AR = 6\sqrt{6}\) см.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда можно найти, умножив площадь его основания на высоту:

\[
V = S_{\text{осн}} \cdot h
\]

Для нашего параллелепипеда, площадь основания это \(S_{\text{осн}} = AB^2 = 4^2 = 16\) см\(^2\), а высота \(h = AR = 6\sqrt{6}\) см.

Теперь давайте вычислим объем:

\[
V = 16 \cdot 6\sqrt{6} = 96\sqrt{6} \, \text{см}^3
\]

Значит, объем этого параллелепипеда равен \(96\sqrt{6}\) кубических сантиметров.