Каковы значения основания и высоты в равнобедренном треугольнике, если угол при основании составляет 45 градусов

Предположим, что основание треугольника составляет $x$ единиц, а высота равна $h$ единиц. У нас также есть информация о том, что угол при основании равен 45 градусам.

В равнобедренном треугольнике, у которого две стороны равны, мы можем ввести новую переменную, назовем ее $y$, которая будет представлять расстояние от вершины треугольника до основания.

Строим следующие выводы:

- Мы имеем прямоугольный треугольник, так как основание превышает высоту на $y$ единиц.
- Угол при основании равен 45 градусам, что означает, что угол в вершине треугольника также равен 45 градусам.

Следующим шагом нам потребуется применить тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника и найти значения $x$ и $h$.

Внимательно рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначив гипотенузу как $c$, а катеты как $a$ и $b$.

У нас есть следующие соотношения:

$$\begin{array}{rl}a& =h\\ b& =y\\ c& =x\end{array}$$

Кроме того, мы знаем, что угол между $a$ и $c$ равен 45 градусам.

Используя тригонометрическую функцию $\sin$, мы можем записать:

$$\sin ({45}^{\circ })=\frac{a}{c}$$

Подставляя значения переменных, получаем:

$$\sin ({45}^{\circ })=\frac{h}{x}$$

Далее, зная, что $\sin ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$, мы можем решить уравнение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{x}$$

Перемножим обе стороны уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x=h$$

Теперь мы знаем значение $h$ в зависимости от $x$. Следующим шагом нам нужно найти значение $y$ в зависимости от $x$.

Мы знаем, что основание превышает высоту на $y$ единиц, поэтому можем записать уравнение:

$$x=h+y$$

Подставив значение $h$ из предыдущего уравнения:

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x+y$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $y$:

$$y=x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x$$

Упростив это уравнение, получим:

$$y=x(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$$

Таким образом, мы нашли выражение для $y$ в зависимости от $x$.

Итак, значения основания $(x)$ и высоты $(h)$ в равнобедренном треугольнике, где угол при основании равен 45 градусам, а основание превышает высоту на $y$, равны:

$$x=c\text{(основание)}$$

$$h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot c\text{(высота)}$$

$$y=c(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{(разность между основанием и высотой)}$$