1. Какое уравнение описывает окружность с центром в точке М(2, -1) и радиусом r=3? Пересекает ли данная окружность

1. Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке M(2, -1) и радиусом r=3, мы можем использовать следующую формулу:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\]

где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Подставим значения для центра и радиуса:

\[(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2\]

Раскроем скобки:

\[(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\]

Это и есть уравнение окружности с центром в точке M(2, -1) и радиусом r=3.

Для того чтобы проверить, пересекает ли данная окружность точку C(2, 2), подставим координаты точки C в уравнение окружности:

\[(2 - 2)^2 + (2 + 1)^2 = 9\]

\[0^2 + 3^2 = 9\]

\[9 = 9\]

Таким образом, точка C(2, 2) принадлежит данной окружности.

2. Чтобы найти уравнение прямой АВ, используем формулу для нахождения уравнения прямой по двум точкам:

\[\frac{{y - y_1}}{{x - x_1}} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В.

Подставим значения для точек А(-3, 4) и В(-1, -2):

\[\frac{{y - 4}}{{x - (-3)}} = \frac{{(-2) - 4}}{{(-1) - (-3)}}\]

Упростим:

\[\frac{{y - 4}}{{x + 3}} = \frac{{-6}}{{2}}\]

\[\frac{{y - 4}}{{x + 3}} = -3\]

Умножим обе части на (x + 3):

\[y - 4 = -3(x + 3)\]

Избавимся от скобок:

\[y - 4 = -3x - 9\]

Перенесем все слагаемые с x на одну сторону и сократим:

\[3x + y = -5\]

Таким образом, уравнение прямой АВ равно 3x + y = -5.

Для нахождения координаты точки пересечения двух прямых -2x - 7y + 1 = 0 и 3x + 4y + 5 = 0 используем метод подстановки.

Уравнение первой прямой -2x - 7y + 1 = 0 можно переписать в виде:

\[y = -\frac{2}{7}x + \frac{1}{7}\]

Подставим это значение y во второе уравнение:

\[3x + 4(-\frac{2}{7}x + \frac{1}{7}) + 5 = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[3x - \frac{8}{7}x + \frac{4}{7} + 5 = 0\]

\[20x + 4 = 0\]

\[20x = -4\]

\[x = -\frac{1}{5}\]

Теперь найдем y, подставив найденное значение x в первое уравнение:

\[y = -\frac{2}{7}(-\frac{1}{5}) + \frac{1}{7}\]

\[y = \frac{2}{35} + \frac{1}{7}\]

\[y = \frac{2}{35} + \frac{5}{35}\]

\[y = \frac{7}{35}\]

\[y = \frac{1}{5}\]

Таким образом, координаты точки пересечения двух прямых -2x - 7y + 1 = 0 и 3x + 4y + 5 = 0 равны (-1/5, 1/5).

3. Чтобы найти координаты точек А и В пересечения прямой с осями координат, распишем уравнение прямой в виде:

\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

где (a, 0) и (0, b) - точки пересечения прямой с осями координат.

Для данного уравнения \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) найдем координаты точек А и В.

Координаты точки А:

Подставим значения x=0 и решим уравнение относительно y:

\(\frac{0}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

\(\frac{y}{b} = 1\)

\(y = b\)

Таким образом, координаты точки А равны (0, b).

Координаты точки В:

Подставим значения y=0 и решим уравнение относительно x:

\(\frac{x}{a} + \frac{0}{b} = 1\)

\(\frac{x}{a} = 1\)

\(x = a\)

Таким образом, координаты точки В равны (a, 0).

Для нахождения координат середины отрезка АВ, мы можем использовать формулы:

\(x_{серед} = \frac{x_1 + x_2}{2}\)

\(y_{серед} = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В.

Подставим значения координат точек А и В (0, b) и (a, 0):

\(x_{серед} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}\)

\(y_{серед} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}\)

Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{b}{2}\)).

Для нахождения длины отрезка АВ мы можем использовать расстояние между двумя точками, которое находится по формуле:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В.

Подставим значения координат точек А и В (0, b) и (a, 0):

\[d = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Таким образом, длина отрезка АВ равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

4. Чтобы найти координаты точки О, пересекающейся прямыми \(y = x + 4\) и \(y = -2x - 5\), решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x + 4 \\
y = -2x - 5
\end{cases}
\]

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

\(x + 4 = -2x - 5\)

Сложим 2x к обеим частям уравнения:

\(3x + 4 = -5\)

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

\(3x = -9\)

Разделим обе части на 3:

\(x = -3\)

Теперь найдем y, подставив найденное значение x в первое уравнение:

\(y = -3 + 4\)

\(y = 1\)

Таким образом, координаты точки О равны (-3, 1).

Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке О, используем формулу:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Подставим значения для центра О и предположимый радиус:

\((x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = r^2\)

Раскроем скобки:

\((x + 3)^2 + (y - 1)^2 = r^2\)

Это и есть уравнение окружности с центром в точке О.