Каков объем параллелепипеда, если боковые грани призмы представляют собой равные ромбы со стороной длиной √8 см и углом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать знания о геометрии и формулах для объема параллелепипеда. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение.

Шаг 1: Вспоминаем формулу для объема параллелепипеда. Объем параллелепипеда можно вычислить, умножив длину основания на ширину и высоту. Пусть длина основания равна \(a\), ширина равна \(b\), а высота равна \(h\). Тогда формула объема параллелепипеда будет выглядеть следующим образом:

\[V = a \times b \times h\]

Шаг 2: Определяем размеры параллелепипеда. Для того чтобы решить задачу, нам нужно найти значения длины, ширины и высоты параллелепипеда. Обратим внимание на предоставленную информацию:

- Боковые грани призмы представляют собой равные ромбы со стороной длиной \(\sqrt{8}\) см и углом в 60°.
- Боковое ребро образует угол в 45° с основанием.

Шаг 3: Находим длину и ширину основания параллелепипеда. Поскольку боковые грани призмы являются ромбами, сторона ромба равна \(\sqrt{8}\) см. Также мы знаем, что угол между сторонами ромба равен 60°. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти длину и ширину основания параллелепипеда.

Поскольку угол в ромбе равнобедренный, мы можем разделить его пополам, чтобы получить два прямоугольных треугольника. В этом случае, сторона ромба становится гипотенузой, а его половина - катетом. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников, чтобы найти длину и ширину основания параллелепипеда.

Пусть \(s\) - сторона ромба (\(\sqrt{8}\) см), \(a\) - длина основания параллелепипеда, \(b\) - ширина основания параллелепипеда. Тогда мы можем вспомнить следующие соотношения:

\(\cos(60°) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{s}\)

\(\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{b}{s}\)

Решая эти уравнения, мы найдем значения для \(a\) и \(b\).

Решение:

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{8}}\) ⟹ \(a = \dfrac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}\) см

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{b}{\sqrt{8}}\) ⟹ \(b = \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{8}}{2} = \sqrt{6}\) см

Шаг 4: Находим высоту параллелепипеда. Для того чтобы найти высоту параллелепипеда (\(h\)), мы можем обратиться к предоставленному условию, где сказано, что боковое ребро образует угол в 45° с основанием. Это означает, что боковое ребро образует диагональ прямоугольного треугольника, образованного длиной и шириной основания. Мы знаем, что диагональ прямоугольного треугольника равна гипотенузе, поэтому мы можем использовать те же тригонометрические соотношения, чтобы найти высоту параллелепипеда.

Пусть \(h\) - высота параллелепипеда. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение для прямоугольных треугольников:

\(\sin(45°) = \dfrac{\dfrac{h}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}}\)

Решая это уравнение, мы найдем значение для \(h\).

Решение:

\(\sin(45°) = \dfrac{\dfrac{h}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}}\) ⟹ \(h = \sqrt{3}\) см

Шаг 5: Находим объем параллелепипеда. Мы уже нашли значения для \(a\), \(b\) и \(h\). Теперь мы можем использовать формулу объема параллелепипеда, чтобы найти итоговый ответ.

\[V = a \times b \times h\]

\[V = \sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6\) см³

Итак, объем параллелепипеда равен 6 кубическим сантиметрам.