Каков объем наклонного параллелепипеда, если его полная поверхность равна 72 см2 и он имеет квадратное основание

Конечно! Для решения этой задачи воспользуемся формулами для вычисления объема параллелепипеда.

Дано:
Полная поверхность параллелепипеда = 72 см²
Сторона квадратного основания = 3 см
Угол, образуемый одной из боковых граней с плоскостью основания = 30°

Решение:
1. Найдем высоту параллелепипеда. У нас есть две боковые грани, которые перпендикулярны основанию. Это означает, что высота равна одной из этих граней. Используем тригонометрические соотношения для нахождения высоты:
\[h = a \cdot \tan(\theta)\]
Где h - высота, a - сторона квадратного основания, а theta (θ) - угол, образованный гранью с плоскостью основания.

Подставим известные значения:
\[h = 3 \cdot \tan(30°)\]
\[h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\]

2. Теперь найдем площадь основания параллелепипеда. Основание является квадратом, поэтому его площадь равна сторона, возведенная в квадрат:
\[A_{\text{осн}} = a^2 = 3^2 = 9 \, \text{см}^2\]

3. Вычислим площадь одной из боковых граней параллелепипеда. Параллелограмм, образованный этой гранью, имеет сторону a и высоту h, поэтому его площадь равна:
\[A_{\text{бок}} = a \cdot h = 3 \cdot \sqrt{3}\]

4. Отбросим участок с площадью боковой грани, образующей угол с плоскостью основания. Для этого найдем площадь прямоугольного треугольника на этом участке:
\[A_{\text{отброс}}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

5. Теперь можно найти площадь всех боковых граней:
\[A_{\text{бок вс}}= 2 \cdot A_{\text{бок}} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}\]

6. Найдем площадь всех граней, включая основание, суммируя площади:
\[A_{\text{вс}} = A_{\text{осн}} + A_{\text{бок вс}} + A_{\text{отброс}} = 9 + 6 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9 + \frac{15\sqrt{3}}{2} = \frac{18 + 15\sqrt{3}}{2}\]

7. Наконец, объем параллелепипеда можно найти по формуле:
\[V = A_{\text{осн}} \cdot h = 9 \cdot \sqrt{3}\]

Таким образом, объем наклонного параллелепипеда равен \(9 \cdot \sqrt{3}\) кубических сантиметров.