Каков объем максимальной прибыли, который фирма может получить, учитывая, что она производит два вида продукции

Для решения данной задачи, нам необходимо найти максимальный объем прибыли, который фирма может получить. Прибыль рассчитывается как разность между выручкой и издержками:

Прибыль = Выручка - Издержки

Выручка вычисляется путем умножения количества произведенной продукции на соответствующую цену реализации на рынке:

Выручка = Цена_x * x + Цена_y * y

Издержки определяются функцией C(x, y), которая задана в условии задачи:

C(x, y) = 5x^2 + 4y^2 + 10x + 16y + 5

Теперь мы можем составить выражение для прибыли:

Прибыль = (Цена_x * x + Цена_y * y) - (5x^2 + 4y^2 + 10x + 16y + 5)

Заменяем значения цен на рынке:

Прибыль = (30 * x + 20 * y) - (5x^2 + 4y^2 + 10x + 16y + 5)

Прибыль = 30x + 20y - 5x^2 - 4y^2 - 10x - 16y - 5

Для нахождения максимальной прибыли, необходимо найти максимальное значение этой функции. Для этого мы вычислим производные по x и y и найдем их нули:

∂Прибыль/∂x = 30 - 10x - 10 = 0

∂Прибыль/∂y = 20 - 8y - 16 = 0

Решая эти уравнения, мы найдем значения x и y, обеспечивающие максимальный объем прибыли.

∂Прибыль/∂x = 0 → 30 - 10x - 10 = 0 → 10x = 20 → x = 2

∂Прибыль/∂y = 0 → 20 - 8y - 16 = 0 → 8y = 4 → y = 0.5

Теперь, чтобы найти максимальный объем прибыли, нужно подставить найденные значения x и y в функцию прибыли:

Прибыль = 30x + 20y - 5x^2 - 4y^2 - 10x - 16y - 5

Прибыль = 30*2 + 20*0.5 - 5*2^2 - 4*0.5^2 - 10*2 - 16*0.5 - 5

Прибыль = 60 + 10 - 20 - 1 - 20 - 8 - 5

Прибыль = 16

Таким образом, максимальный объем прибыли, который фирма может получить, составляет 16.