Что получится, если упростить выражение 2*sin4a*sin5a+cos9a?

Для начала, рассмотрим упрощение первого слагаемого: \(2 \cdot \sin(4a) \cdot \sin(5a)\).

Мы можем применить формулу произведения синусов, которая гласит: \(\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\).

В нашем случае, \(\alpha = 4a\) и \(\beta = 5a\). Подставим значения в формулу:

\[
2 \cdot \sin(4a) \cdot \sin(5a) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}[\cos(4a - 5a) - \cos(4a + 5a)]\right)
\]

Упростим выражение внутри скобок:

\[
= 2 \cdot \left(\frac{1}{2}[\cos(-a) - \cos(9a)]\right)
\]

Теперь, рассмотрим второе слагаемое: \(\cos(9a)\).

Для упрощения этого выражения, воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

\(\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\).

В нашем случае, \(\alpha = 6a\) и \(\beta = 3a\). Подставим значения в формулу:

\[
\cos(9a) = \cos(6a + 3a) = \cos(6a) \cdot \cos(3a) - \sin(6a) \cdot \sin(3a)
\]

Теперь, подставим полученное выражение в исходное:

\[
2 \cdot \left(\frac{1}{2}[\cos(-a) - (\cos(6a) \cdot \cos(3a) - \sin(6a) \cdot \sin(3a))]\right)
\]

Раскроем скобки:

\[
= \cos(-a) - \cos(6a) \cdot \cos(3a) + \sin(6a) \cdot \sin(3a)
\]

Теперь, давайте внесем некоторые уточнения относительно угла \(-a\). Помните, что \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\), а \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\).

В итоге, наше исходное уравнение примет вид:

\[
\cos(a) - \cos(6a) \cdot \cos(3a) + \sin(6a) \cdot \sin(3a)
\]

Таким образом, результат упрощения выражения \(2 \cdot \sin(4a) \cdot \sin(5a) + \cos(9a)\) равен \(\cos(a) - \cos(6a) \cdot \cos(3a) + \sin(6a) \cdot \sin(3a)\).