Каков объем конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 120°, а площадь наибольшего сечения, проходящего через вершину, составляет 18 см^2? Пожалуйста, приложите рисунок для удобства.
Вероника
Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала давайте посмотрим на рисунок:
\[ \]
Мы знаем, что угол при вершине осевого сечения составляет 120°. Это означает, что внутренний угол основания этого сечения равен половине разности 180° и 120°, то есть 60°. Если мы проведем прямую из вершины конуса к основанию, мы получим равносторонний треугольник. Внутренний угол такого треугольника равен 60°.
Теперь рассмотрим наибольшее сечение, проходящее через вершину. Мы знаем, что площадь этого сечения составляет 18 см².
Пусть \( S \) будет площадью наибольшего сечения, а \( V \) - объемом конуса.
Известно, что площадь основания конуса равна площади наибольшего сечения, поэтому \( S = 18 \, \text{см}^2 \).
Мы также знаем, что объем конуса можно найти по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) - радиус основания, а \( h \) - высота конуса.
Рассмотрим треугольник, образованный основанием конуса и линией, проведенной от вершины до центра основания. Это равносторонний треугольник, поэтому каждый его угол равен 60°. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза это радиус основания \( r \), а одна из катетов это высота конуса \( h \).
Теперь мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет} \cdot \text{гипотенуза} \). Подставив значения, получим \( 18 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot r \).
Так как гипотенуза равна радиусу основания, мы можем заменить \( r \) на \( h \), получив \( 18 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot h \).
Распишем это уравнение: \( 18 = \frac{1}{2} h^2 \).
Чтобы избавиться от деления на \(\frac{1}{2}\), умножим обе части уравнения на 2:
\[ 36 = h^2 \].
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:
\[ h = \sqrt{36} \].
Так как \( h \) не может быть отрицательным, значит \( h = 6 \) см.
Теперь, зная высоту \( h \), мы можем найти радиус основания \( r \) с помощью формулы площади круга \( S = \pi r^2 \). Подставим известные значения:
\[ 18 = \pi r^2 \].
Для нахождения радиуса \( r \) избавимся от умножения на \(\pi\) путем деления обеих частей уравнения на \(\pi\):
\[ \frac{18}{\pi} = r^2 \].
После извлечения квадратного корня получим:
\[ r = \sqrt{\frac{18}{\pi}} \].
Теперь у нас есть значение высоты \( h \) и радиуса \( r \), поэтому мы можем вычислить объем конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \].
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\sqrt{\frac{18}{\pi}}\right)^2 \cdot 6 \].
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{18}{\pi} \cdot 6 \].
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 \].
\[ V = 6 \cdot 6 \].
\[ V = 36 \].
Таким образом, объем конуса равен 36 кубическим сантиметрам.
\[
Мы знаем, что угол при вершине осевого сечения составляет 120°. Это означает, что внутренний угол основания этого сечения равен половине разности 180° и 120°, то есть 60°. Если мы проведем прямую из вершины конуса к основанию, мы получим равносторонний треугольник. Внутренний угол такого треугольника равен 60°.
Теперь рассмотрим наибольшее сечение, проходящее через вершину. Мы знаем, что площадь этого сечения составляет 18 см².
Пусть \( S \) будет площадью наибольшего сечения, а \( V \) - объемом конуса.
Известно, что площадь основания конуса равна площади наибольшего сечения, поэтому \( S = 18 \, \text{см}^2 \).
Мы также знаем, что объем конуса можно найти по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) - радиус основания, а \( h \) - высота конуса.
Рассмотрим треугольник, образованный основанием конуса и линией, проведенной от вершины до центра основания. Это равносторонний треугольник, поэтому каждый его угол равен 60°. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза это радиус основания \( r \), а одна из катетов это высота конуса \( h \).
Теперь мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет} \cdot \text{гипотенуза} \). Подставив значения, получим \( 18 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot r \).
Так как гипотенуза равна радиусу основания, мы можем заменить \( r \) на \( h \), получив \( 18 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot h \).
Распишем это уравнение: \( 18 = \frac{1}{2} h^2 \).
Чтобы избавиться от деления на \(\frac{1}{2}\), умножим обе части уравнения на 2:
\[ 36 = h^2 \].
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:
\[ h = \sqrt{36} \].
Так как \( h \) не может быть отрицательным, значит \( h = 6 \) см.
Теперь, зная высоту \( h \), мы можем найти радиус основания \( r \) с помощью формулы площади круга \( S = \pi r^2 \). Подставим известные значения:
\[ 18 = \pi r^2 \].
Для нахождения радиуса \( r \) избавимся от умножения на \(\pi\) путем деления обеих частей уравнения на \(\pi\):
\[ \frac{18}{\pi} = r^2 \].
После извлечения квадратного корня получим:
\[ r = \sqrt{\frac{18}{\pi}} \].
Теперь у нас есть значение высоты \( h \) и радиуса \( r \), поэтому мы можем вычислить объем конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \].
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\sqrt{\frac{18}{\pi}}\right)^2 \cdot 6 \].
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{18}{\pi} \cdot 6 \].
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 \].
\[ V = 6 \cdot 6 \].
\[ V = 36 \].
Таким образом, объем конуса равен 36 кубическим сантиметрам.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
