Какое число было загадано Олей, если она сообщила, что когда ее число делится на 15, остаток в два раза меньше

Для решения этой задачи, давайте предположим, что загаданное число Олей обозначено буквой \(x\).

Мы знаем, что когда число \(x\) делится на 15, остаток в два раза меньше частного. Давайте запишем это как уравнение:

\[x \equiv \frac{x}{15} \cdot 2 \pmod{15}\]

Теперь давайте разберемся с этим уравнением. Нам нужно найти число \(x\), которое удовлетворяет этому условию и находится между 100 и 130.

Перепишем уравнение с учетом этого условия:

\[100 < x < 130\]

Теперь давайте решим уравнение, чтобы найти ответ.

Нам нужно найти число \(x\), которое будет подходить под условие \(x \equiv \frac{x}{15} \cdot 2 \pmod{15}\) и при этом удовлетворять условию \(100 < x < 130\).

Давайте пошагово решим это уравнение:

1. Распишем уравнение \(x \equiv \frac{x}{15} \cdot 2 \pmod{15}\). Здесь символ \(\equiv\) означает "конгруэнтно" или "равно по модулю".
2. Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от знаменателя: \(15x \equiv x \cdot 2 \pmod{15}\).
3. Раскроем уравнение: \(15x \equiv 2x \pmod{15}\).
4. Избавимся от модуля. Поскольку \(15x\) и \(2x\) имеют одинаковые остатки при делении на 15, мы можем уменьшить обе стороны уравнения на 15: \(15x - 2x \equiv 0 \pmod{15}\).
5. Упростим уравнение: \(13x \equiv 0 \pmod{15}\).
6. Разделим обе стороны уравнения на 13: \(x \equiv 0 \pmod{15}\).

Таким образом, мы получили, что число \(x\) должно быть кратно 15, чтобы соответствовать условию и находиться между 100 и 130.

Поскольку нам дано, что число \(x\) больше 100 и меньше 130, нам нужно выбрать число, которое удовлетворяет обоим условиям. Мы можем взять, например, 105.

Проверим, соответствует ли это число условиям:

1. Когда число 105 делится на 15, остаток равен \(\frac{105}{15} \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14\). Остаток равен двукратному частному.
2. 105 находится между 100 и 130.

Таким образом, число, которое было загадано Олей, равно 105.