Каков объем и полная поверхность усеченного конуса с радиусами оснований 2 и 6 см и наклоненной образующей к основанию

Для начала найдем высоту усеченного конуса, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного наклоненной образующей, радиусом большего основания и высотой конуса. Обозначим высоту конуса как \(h\).

Так как у нас дан угол между наклоненной образующей и основанием конуса, то \(cos 45 градусов = \frac{h}{6}\). Решим это уравнение:

\[cos 45 градусов = \frac{h}{6} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{6} \\
h = 3\sqrt{2} см\]

Теперь можно вычислить объем усеченного конуса, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

Подставим значения и рассчитаем объем:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot (2^2 + 6^2 + 2 \cdot 6) \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot (4 + 36 + 12) \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 52 \\
V = \pi \sqrt{2} \cdot 52 см^3\]

Теперь найдем полную поверхность усеченного конуса. Сначала найдем образующую \(l\) с помощью теоремы Пифагора:

\[l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 \\
l^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6 - 2)^2 \\
l^2 = 18 + 16 = 34 \\
l = \sqrt{34} см\]

Теперь вычислим полную поверхность усеченного конуса по формуле:

\[S = \pi (r_1 + r_2) l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2\]

Подставим значения и вычислим:

\[S = \pi (2 + 6) \sqrt{34} + \pi \cdot 2^2 + \pi \cdot 6^2 \\
S = \pi \cdot 8 \sqrt{34} + \pi \cdot 4 + \pi \cdot 36 \\
S = 8\pi\sqrt{34} + 40\pi см^2\]

Итак, объем усеченного конуса равен \(\pi \sqrt{2} \cdot 52 см^3\), а полная поверхность равна \(8\pi\sqrt{34} + 40\pi см^2\).