Каков объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=0,5 x=2 x=1 y=0, вокруг

Для решения данной задачи, нам необходимо найти объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Давайте разобьем данную задачу на несколько шагов и выполним их последовательно:

Шаг 1: Построение графика и определение границ трапеции.
Из условия задачи мы знаем, что линии y = 0,5, x = 2, x = 1 и y = 0 ограничивают форму трапеции. Давайте построим график этих линий:

\[\begin{align*}
y &= 0,5 \\
x &= 2 \\
x &= 1 \\
y &= 0 \\
\end{align*}\]

Шаг 2: Определение функции, описывающей форму трапеции.
Из графика мы видим, что левая граница трапеции - вертикальная линия \(x = 1\), правая граница - прямая линия \(x = 2\), верхняя граница - горизонтальная линия \(y = 0,5\), а нижняя граница - ось абсцисс \(y = 0\). Заметим, что границы трапеции могут быть описаны следующим образом:

\[\begin{align*}
x_{\text{левая}} &= 1 \\
x_{\text{правая}} &= 2 \\
y_{\text{верхняя}} &= 0,5 \\
y_{\text{нижняя}} &= 0 \\
\end{align*}\]

Используя эти значения, мы можем выразить границы трапеции следующим образом:

\[\begin{align*}
x_{\text{н.левая}}(y) &= 1 \\
x_{\text{н.правая}}(y) &= 2 \\
\end{align*}\]

Шаг 3: Построение уравнения трапеции.
Теперь мы можем записать уравнение трапеции в координатной форме. Это будет выглядеть следующим образом:

\[V = \pi \int_{y_{\text{нижняя}}}^{y_{\text{верхняя}}} (x_{\text{н.правая}}(y)^2 - x_{\text{н.левая}}(y)^2)dy\]

Шаг 4: Вычисление интеграла и получение ответа.
Теперь мы можем подставить значения границ трапеции в уравнение и вычислить интеграл, чтобы найти объем фигуры. Подставляя значения, получим:

\[V = \pi \int_{0}^{0.5} (2^2 - 1^2)dy\]

Выполняя интегрирование, получим:

\[V = \pi \int_{0}^{0.5} (4 - 1)dy = \pi \int_{0}^{0.5} 3dy = 3\pi \int_{0}^{0.5} dy = 3\pi [y]_{0}^{0.5} = 3\pi \cdot 0.5 = 1.5\pi\]

Итак, объем фигуры, полученной вращением данной криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, составляет \(1.5\pi\) (или примерно 4.71) единиц объема.