Каков объем данного прямоугольного параллелепипеда, если площади двух его граней равны 54 см2 и 66 см2, а длина

Давайте решим эту задачу вместе.

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда как \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.

У нас дано, что площади двух граней равны 54 см² и 66 см². Площадь грани параллелепипеда определяется формулой \(S = ab\), где \(S\) - площадь, \(a\) - длина грани, \(b\) - ширина грани.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\(ab = 54\) ...(1)
\(bc = 66\) ...(2)

Также, у нас известно, что длина ребра между этими двумя гранями равна \(c\).

Мы можем использовать это, чтобы найти значения длины и ширины:

\(c = a + b\) ...(3)

Раскроем (3) и представим его в виде уравнения:

\(a = c - b\) ...(4)

Теперь, подставим это в (1):

\((c - b)b = 54\) ...(5)

Упростим (5):

\(b^2 - bc + 54 = 0\)

Теперь, используем (2) и подставим \(bc\) из (2) в (5):

\((b^2 - 66) + 54 = 0\)

Упростим:

\(b^2 - 66 + 54 = 0\)

\(b^2 - 12 = 0\)

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант \(D\) определяется как \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = -12\).

Таким образом,

\(D = 0^2 - 4(1)(-12)\)

\(D = 48\)

Теперь, применим формулу дискриминанта для нахождения корней уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{0 \pm \sqrt{48}}{2(1)}\)

\(x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{2}\)

\(x = \pm \sqrt{3}\)

Таким образом, у нас есть два значения для \(b\): \(b = \sqrt{3}\) и \(b = -\sqrt{3}\).

Отклоним отрицательное значение, поскольку размеры должны быть положительными.

Таким образом, \(b = \sqrt{3}\).

Теперь, используем \(b = \sqrt{3}\) и подставим в (2):

\(c = \frac{66}{\sqrt{3}}\)

\(c \approx 38.09\) (округлим до двух десятичных знаков)

Теперь, используем \(b = \sqrt{3}\) и \(c \approx 38.09\) и подставим в (4) и (3):

\(a = 38.09 - \sqrt{3}\)

Таким образом, длина \(a\) и ширина \(b\) равны приблизительно 38.09 - \( \sqrt{3}\) см.

Наконец, чтобы найти объем параллелепипеда, мы используем формулу объема \(V = abc\).

Подставим значения:

\(V = (38.09 - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}) \cdot 38.09\)

\(V \approx 1583.93\) (округлим до двух десятичных знаков)

Таким образом, объем данного прямоугольного параллелепипеда равен приблизительно 1583.93 см³.