Каков объем цилиндра, в которого вписан шар объемом

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы для объемов шара и цилиндра.

Объем шара вычисляется по формуле:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]
где \(V\) - объем шара, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \(r\) - радиус шара.

Объем цилиндра определяется по формуле:
\[V = \pi r^2 h\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Поскольку шар вписан в цилиндр, его диаметр равен диаметру основания цилиндра. Диаметр шара равен удвоенному радиусу, поэтому радиус основания цилиндра равен половине диаметра шара.

Предположим, что объем шара равен \(V_{\text{шара}}\). Нам нужно найти объем цилиндра, в который вписан шар. Пусть этот объем цилиндра будет равен \(V_{\text{цилиндра}}\).

Сначала найдем радиус шара (\(r_{\text{шара}}\)). Для этого воспользуемся формулой для объема шара:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{шара}}^3\]

Решим данное уравнение относительно \(r_{\text{шара}}\):
\[r_{\text{шара}}^3 = \frac{3}{4\pi} V_{\text{шара}}\]
\[r_{\text{шара}} = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} V_{\text{шара}}}\]

Теперь найдем радиус основания цилиндра (\(r_{\text{цилиндра}}\)). Для этого нужно разделить радиус шара на 2:
\[r_{\text{цилиндра}} = \frac{r_{\text{шара}}}{2}\]

Теперь найдем высоту цилиндра (\(h_{\text{цилиндра}}\)). Для этого воспользуемся формулой для объема цилиндра:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r_{\text{цилиндра}}^2 h_{\text{цилиндра}}\]

Решим данное уравнение относительно \(h_{\text{цилиндра}}\):
\[h_{\text{цилиндра}} = \frac{V_{\text{цилиндра}}}{\pi r_{\text{цилиндра}}^2}\]

Таким образом, мы нашли радиус основания цилиндра и высоту цилиндра. Чтобы найти объем цилиндра, подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу для объема цилиндра:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r_{\text{цилиндра}}^2 h_{\text{цилиндра}}\]

Подставим выражение для \(r_{\text{цилиндра}}\) и \(h_{\text{цилиндра}}\) в данное уравнение:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{r_{\text{шара}}}{2}\right)^2 \left(\frac{V_{\text{цилиндра}}}{\pi \left(\frac{r_{\text{шара}}}{2}\right)^2}\right)\]

Упростим данное уравнение:
\[V_{\text{цилиндра}} = \frac{r_{\text{шара}}^2}{4} \cdot \frac{V_{\text{цилиндра}}}{\frac{r_{\text{шара}}^2}{4}}\]

Упростим дальше, сократив \(r_{\text{шара}}^2\) и \(\frac{r_{\text{шара}}^2}{4}\):
\[V_{\text{цилиндра}} = V_{\text{цилиндра}}\]

Таким образом, объем цилиндра, в который вписан шар объемом \(V_{\text{шара}}\), равен \(V_{\text{шара}}\).

Ответ: Объем цилиндра, в который вписан шар объемом \(V_{\text{шара}}\), равен \(V_{\text{шара}}\).