Каков объем цилиндра, если прямоугольник с длиной 14 и шириной 10 является разверткой его боковой поверхности?

Для решения данной задачи, нам необходимо определить объем цилиндра по развертке его боковой поверхности.

Длина прямоугольника с разверткой боковой поверхности цилиндра равна 14, а ширина равна 10. Важно заметить, что развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, длина которого равна окружности основания, а ширина - образующей цилиндра.

Периметр прямоугольника можно рассчитать по формуле:
\[P = 2(l + w),\]
где \(P\) - периметр прямоугольника, \(l\) - длина прямоугольника (окружности основания), \(w\) - ширина прямоугольника (образующая цилиндра).

Таким образом, периметр прямоугольника с разверткой боковой поверхности цилиндра равен:
\[P = 2(14 + 10) = 48.\]

Теперь мы можем найти радиус основания цилиндра (длину прямоугольника) по формуле:
\[l = \frac{P}{2\pi},\]
где \(l\) - длина окружности основания, \(P\) - периметр прямоугольника.

Радиус основания цилиндра равен:
\[l = \frac{48}{2\pi} \approx 7.64.\]

Теперь у нас есть радиус основания цилиндра \(\approx 7.64\) и высота цилиндра, образующая прямоугольник. Чтобы найти объем цилиндра, используем формулу:
\[V = \pi r^2 h,\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(\pi\) - число пи (приближенно равно 3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Подставляем значения:
\[V = 3.14 \times (7.64)^2 \times 10 \approx 1839.34.\]

Таким образом, объем цилиндра составляет около 1839.34 кубических единиц.