Каков объем цилиндра, если длина хорды нижнего основания составляет 4 квадратных корня из 14 и она отдалена от центра

Чтобы найти объем цилиндра, нам понадобятся следующие показатели: радиус нижнего основания и высота цилиндра.

Для начала, давайте определим радиус нижнего основания цилиндра. По условию известно, что длина хорды нижнего основания равна 4 квадратных корня из 14, а она отдалена от центра нижнего основания на 5. Чтобы найти радиус нижнего основания, нам понадобится применить теорему Пифагора.

Итак, пусть радиус нижнего основания будет обозначен как \( r \), длина хорды как \( d \), а расстояние от центра нижнего основания до хорды как \( h \).

Мы знаем, что \( d = 4 \sqrt{14} \) и \( h = 5 \).

Теорема Пифагора для треугольника, образованного радиусом, хордой и откладываемым от хорды расстоянием до центра нижнего основания, гласит:

\[ r^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ r^2 = \left(\frac{4 \sqrt{14}}{2}\right)^2 + 5^2 \]
\[ r^2 = \left(\frac{2 \cdot \sqrt{14}}{1}\right)^2 + 5^2 \]
\[ r^2 = \left(\frac{2 \sqrt{14}}{1}\right) \cdot \left(\frac{2 \sqrt{14}}{1}\right) + 5 \cdot 5 \]
\[ r^2 = \frac{4 \cdot 14}{1} + 25 \]
\[ r^2 = 56 + 25 \]
\[ r^2 = 81 \]

Теперь найдем радиус \( r \):
\[ r = \sqrt{81} \]
\[ r = 9 \]

Теперь, когда у нас есть радиус, найдем высоту цилиндра. В данной задаче высота цилиндра не указана явно, поэтому возьмем высоту равной длине хорды, отложенной от центра верхнего основания. То есть, высота цилиндра равна 4 квадратных корней из 14.

Теперь мы можем найти объем цилиндра, используя формулу \( V = \pi r^2 h \):

\[ V = \pi \cdot 9^2 \cdot 4 \sqrt{14} \]
\[ V = 81 \pi \cdot 4 \sqrt{14} \]
\[ V = 324 \pi \sqrt{14} \]

Таким образом, объем цилиндра равен \( 324 \pi \sqrt{14} \).