Прямокутник abcd має сторони ab = 9 см і bc = 12 см. am є перпендикуляром до площини прямокутника. Пряма mc нахилена

Розглянемо задачу пошагово:

1) Довжина перпендикуляра ma:

Скористаємося властивістю прямокутників, згідно якої перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника на його протилежну сторону, є ізотропним відносно середини цієї протилежної сторони. Тобто, точка m є серединою сторони ad.

Так як сторона ad має довжину 9 см, то перпендикуляр ma також має довжину 9/2 = 4.5 см.

Відповідь: Довжина перпендикуляра ma дорівнює 4.5 см.

2) Значення тангенсу кута нахилу прямої mb до площини прямокутника:

Так як пряма mb нахилена до площини прямокутника під кутом 30°, можемо скористатися властивостями прямокутного трикутника.

У нас є дві відомі сторони прямокутного трикутника mb і ab. Знайдемо третю сторону - сторону ma.

За теоремою Піфагора, маємо \(\displaystyle ma=\sqrt{mb^{2} - ab^{2}}\).

Підставляючи відомі значення, отримуємо \(\displaystyle ma=\sqrt{12^{2} - 9^{2}}\).

Обраховуючи, отримуємо \(\displaystyle ma=\sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\) см.

Тангенс кута нахилу прямої mb до площини прямокутника розраховується за формулою \(\displaystyle \tan{\alpha } =\dfrac{mb}{ma}\), де \(\displaystyle \alpha \) - шуканий кут.

Для знаходження значення тангенсу будемо використовувати вже отримане значення довжини прямої ma і відоме значення довжини сторони mb (12 см):

\(\displaystyle \tan{\alpha } =\dfrac{12}{3\sqrt{7}} = \dfrac{4}{\sqrt{7}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{7}\).

Відповідь: Значення тангенсу кута нахилу прямої mb до площини прямокутника дорівнює \(\displaystyle \dfrac{4\sqrt{7}}{7}\).

3) Значення тангенсу кута, який утворює площину mdc з площиною прямокутника:

За теоремою про тангенс суми двох кутів, можемо записати \(\displaystyle \tan{(\angle mdc)} = \tan{\left( 90° + 30° \right)}\).

Так як тангенс є періодичною функцією з періодом 180°, то \(\displaystyle \tan{\left( 90° + 30° \right)} = \tan{120°} = \tan{\left( 120 - 180 \cdot k \right)}\), де \(\displaystyle k\) - ціле число.

Вираз \(\displaystyle \tan{\left( 120 - 180 \cdot k \right)}\) приймає значення \(\displaystyle \tan{120°}\), коли \(\displaystyle k\) дорівнює 0, 1, або -1.

Значення тангенсу кута \(\displaystyle 120°\) розраховується за тригонометричною коломи:

\(\displaystyle \tan{120°} = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\).

Відповідь: Значення тангенсу кута, який утворює площину mdc з площиною прямокутника дорівнює -\sqrt{3}.