Каков наибольший отрицательный корень уравнения sin^x + 3 = 7sin(x)cos(x)? Если было, то `-` обозначает квадрат

Хорошо, давайте решим поставленную задачу.

Для начала, давайте упростим данное уравнение. Мы можем заменить \(\sin^2(x)\) на \((\sin(x))^2\) для большей ясности записи. Также, для удобства обозначим \(\sin(x)\) как \(a\) и \(\cos(x)\) как \(b\). Тогда уравнение примет вид:

\((\sin(x))^2 + 3 = 7\sin(x)\cos(x)\)

Теперь воспользуемся известной тригонометрической формулой: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Мы можем преобразовать данное уравнение, заменив \(7\sin(x)\cos(x)\) на \(\frac{7}{2}\sin(2x)\):

\((\sin(x))^2 + 3 = \frac{7}{2}\sin(2x)\)

Затем, воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла, чтобы выразить \(\sin(2x)\) через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\): \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

Подставим это обратно в уравнение:

\((\sin(x))^2 + 3 = \frac{7}{2} \cdot 2\sin(x)\cos(x)\)

Теперь у нас есть:

\((\sin(x))^2 + 3 = 7\sin(x)\cos(x)\)

Мы можем упростить уравнение, вычтя \((\sin(x))^2\) с обеих сторон:

\(3 = 6\sin(x)\cos(x)\)

Далее, давайте рассмотрим все возможные значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), так как они находятся между -1 и 1.

Для максимального отрицательного значения левой стороны (\(3\)), нам нужно выбрать отрицательное значение \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\). Рассмотрим случай, когда \(\sin(x) = -1\) и \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\):

\(3 = 6 \cdot (-1) \cdot (-\frac{1}{2})\)

\(3 = 6 \cdot \frac{1}{2}\)

\(3 = 3\)

Выражение справа равно выражению слева, поэтому, когда \(\sin(x) = -1\) и \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\), мы получаем для уравнения значение равное 3.

Теперь позвольте мне выразить значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) обратно через \(a\) и \(b\):

\(\sin(x) = a = -1\)

\(\cos(x) = b = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, мы можем заключить, что наибольший отрицательный корень данного уравнения находится при значениях \(\sin(x) = -1\) и \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\).

Надеюсь, это объяснение стало понятным и помогло разобраться в задаче. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.