Сколько школьников участвовало в товарищеском турнире шахмат, если каждый из них провел не более одной партии с каждым

Давайте решим данную задачу шаг за шагом:

Предположим, что в турнире участвовало $n$ школьников. Каждый из них должен сыграть не более одной партии с каждым другим школьником, а также не более одной партии с гроссмейстером.

Сначала вычислим количество пар партий между школьниками без участия гроссмейстера. Если каждый школьник проводит не более одной партии с каждым другим школьником, то количество таких партий можно вычислить по формуле:

$$\frac{n\cdot (n-1)}{2}$$

Теперь рассмотрим партии между школьниками и гроссмейстером. Поскольку каждый школьник играет не более одной партии с гроссмейстером, количество таких партий равно $n$.

Таким образом, общее количество партий в турнире равно:

$$\frac{n\cdot (n-1)}{2}+n$$

Мы знаем, что в турнире было сыграно 40 партий, поэтому приравниваем это значение к общему количеству партий:

$$\frac{n\cdot (n-1)}{2}+n=40$$

Теперь решим полученное уравнение:

$$\frac{n^2-n}{2}+n=40$$

Упростим уравнение:

$$\frac{n^2-n+2n}{2}=40$$

$$\frac{n^2+n}{2}=40$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

$$n^2+n=80$$

$$n^2+n-80=0$$

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

$$n=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения. В нашем случае:

$$a=1,b=1,c=-80$$

$$n=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-80)}}{2\cdot 1}$$

$$n=\frac{-1\pm \sqrt{1+320}}{2}$$

$$n=\frac{-1\pm \sqrt{321}}{2}$$

Следовательно, у нас два возможных значения для количества школьников в турнире: $n_1=\frac{-1+\sqrt{321}}{2}$ и $n_2=\frac{-1-\sqrt{321}}{2}$.

Однако, поскольку речь идет о количестве школьников, то мы не можем иметь отрицательное значение. Поэтому, отбрасываем $n_2$ как неверное решение.

Таким образом, количество школьников, участвовавших в товарищеском турнире шахмат, равно:

$$n=\frac{-1+\sqrt{321}}{2}\approx 8$$

Ответ: В товарищеском турнире шахмат участвовало около 8 школьников.