Сколько школьников участвовало в товарищеском турнире шахмат, если каждый из них провел не более одной партии с каждым

Давайте решим данную задачу шаг за шагом:

Предположим, что в турнире участвовало \(n\) школьников. Каждый из них должен сыграть не более одной партии с каждым другим школьником, а также не более одной партии с гроссмейстером.

Сначала вычислим количество пар партий между школьниками без участия гроссмейстера. Если каждый школьник проводит не более одной партии с каждым другим школьником, то количество таких партий можно вычислить по формуле:

\[ \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \]

Теперь рассмотрим партии между школьниками и гроссмейстером. Поскольку каждый школьник играет не более одной партии с гроссмейстером, количество таких партий равно \(n\).

Таким образом, общее количество партий в турнире равно:

\[ \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + n \]

Мы знаем, что в турнире было сыграно 40 партий, поэтому приравниваем это значение к общему количеству партий:

\[ \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + n = 40 \]

Теперь решим полученное уравнение:

\[ \frac{n^2 - n}{2} + n = 40 \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{n^2 - n + 2n}{2} = 40 \]

\[ \frac{n^2 + n}{2} = 40 \]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

\[ n^2 + n = 80 \]

\[ n^2 + n - 80 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В нашем случае:

\[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = -80 \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 320}}{2} \]

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{321}}{2} \]

Следовательно, у нас два возможных значения для количества школьников в турнире: \(n_1 = \frac{-1 + \sqrt{321}}{2}\) и \(n_2 = \frac{-1 - \sqrt{321}}{2}\).

Однако, поскольку речь идет о количестве школьников, то мы не можем иметь отрицательное значение. Поэтому, отбрасываем \(n_2\) как неверное решение.

Таким образом, количество школьников, участвовавших в товарищеском турнире шахмат, равно:

\[ n = \frac{-1 + \sqrt{321}}{2} \approx 8 \]

Ответ: В товарищеском турнире шахмат участвовало около 8 школьников.