Возможно ли построить окружность вокруг четырехугольника ABCD, если 1) угол A равен 56°, угол C равен 124°; 2) угол

Конечно, я могу помочь вам с этим! Чтобы определить, возможно ли построить окружность вокруг данного четырехугольника, нам необходимо применить свойство теоремы о вписанных углах.

1) Первый случай: угол A равен 56°, угол C равен 124°.
Для начала давайте посмотрим на сумму углов внутри четырехугольника ABCD. Сумма внутренних углов в четырехугольнике равна 360°.

Угол B и угол D могут быть найдены с использованием следующих формул:
\[
\angle B = 180° - \angle A
\]
\[
\angle D = 180° - \angle C
\]

Подставим значения углов:
\[
\angle B = 180° - 56° = 124°
\]
\[
\angle D = 180° - 124° = 56°
\]

Теперь мы можем рассмотреть либо вписанный угол CAD, либо вписанный угол CBD и проверить, являются ли они прямыми углами (равны 90°).

Для вписанных углов, которые опираются на одну хорду, сумма этих углов всегда равна 180°. Поскольку сумма внутренних углов в четырехугольнике ABCD равна 360°, углы CAD и CBD, не будучи прямыми, должны в сумме давать 180°.

Таким образом, если \(\angle CAD + \angle CBD = 180°\), то возможно построить окружность вокруг четырехугольника ABCD.

2) Второй случай: угол B равен 64°, угол D равен 106°.
Проделаем аналогичные шаги для этого случая. Найдем угол A и угол C:
\[
\angle A = 180° - \angle B = 180° - 64° = 116°
\]
\[
\angle C = 180° - \angle D = 180° - 106° = 74°
\]

Теперь просуммируем внутренние углы:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 116° + 64° + 74° + 106° = 360°
\]

В этом случае сумма внутренних углов также равна 360°. Затем проверим углы CAD и CBD:
\[
\angle CAD + \angle CBD = 116° + 74° \neq 180°
\]

Сумма этих углов не равна 180°, поэтому окружность невозможно построить вокруг четырехугольника ABCD в данном случае.

В итоге, получаем:
1) Да, в первом случае, когда угол A равен 56°, угол C равен 124°, окружность возможно построить вокруг четырехугольника ABCD.
2) Нет, во втором случае, когда угол B равен 64°, угол D равен 106°, окружность невозможно построить вокруг четырехугольника ABCD.