Каков модуль разности двух наименьших корней уравнения X^3-2022x+sqrt2021

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть уравнение вида \(x^3 - 2022x + \sqrt{2021} = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения, нам нужно сначала решить его.

Шаг 1: Воспользуемся формулой Кардано. Для этого нам нужно привести уравнение к виду \(y^3 + py + q = 0\), где \(y = x + \frac{a}{3}\). В нашем случае \(p = \frac{-2022}{a^2}\) и \(q = \frac{\sqrt{2021}}{a^3}\), где \(a = \sqrt[3]{54}\).

Давайте вычислим значения \(p\) и \(q\).

\(p = \frac{-2022}{(\sqrt[3]{54})^2} = \frac{-2022}{3^2} = -224.67\)

\(q = \frac{\sqrt{2021}}{(\sqrt[3]{54})^3} = \frac{\sqrt{2021}}{3^3} = \frac{\sqrt{2021}}{27}\)

Шаг 2: Теперь, используя формулу Кардано, найдем значения \(y\) (корни уравнения \(y^3 + py + q = 0\)).

\[y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\]
\[y_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\right)\]
\[y_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\right)\]

Шаг 3: Найдем значения \(x\) по формуле \(x = y - \frac{a}{3}\).

Подставим найденные значения \(y\) и вычислим значения \(x\):

\[x_1 = \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\right) - \frac{\sqrt[3]{54}}{3}\]
\[x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\right) - \frac{\sqrt[3]{54}}{3}\]
\[x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\right) - \frac{\sqrt[3]{54}}{3}\]

Шаг 4: Отсортируем значения \(x\) в порядке возрастания и найдем разность между двумя наименьшими корнями:

Отсортируем значения \(x\): \(x_1 < x_2 < x_3\)

Модуль разности двух наименьших корней будет:

\(|x_2 - x_1|\)