Каков модуль радиального ускорения точки в момент времени t = 0,5 с, если движение материальной точки в плоскости

Сначала нам нужно выразить радиальное ускорение \(\ddot{p}\) через полярные координаты материальной точки.

Радиальное ускорение определяется следующим образом:
\[\ddot{p} = \left(\ddot{r} - r\dot{\phi}^{2}\right)\mathbf{i} + \left(r\ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi}\right)\mathbf{j}\]
где \(r\) - радиус-вектор, \(\dot{r}\) - скорость изменения радиус-вектора, \(\ddot{r}\) - ускорение изменения радиус-вектора, \(\phi\) - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси \(x\), \(\dot{\phi}\) - скорость изменения угла \(\phi\) и \(\ddot{\phi}\) - ускорение изменения угла \(\phi\).

Теперь нам нужно найти все требуемые величины.

1. Найдем радиус-вектор \(r\) из полярных координат:
\[r = p = 4\cos(\pi t)\]

2. Найдем скорость изменения радиус-вектора \(\dot{r}\):
\[\dot{r} = \frac{d}{dt}r = \frac{d}{dt}p = \frac{d}{dt}(4\cos(\pi t)) = -4\pi\sin(\pi t)\]

3. Найдем ускорение изменения радиус-вектора \(\ddot{r}\):
\[\ddot{r} = \frac{d}{dt}\dot{r} = \frac{d}{dt}(-4\pi\sin(\pi t)) = -4\pi^{2}\cos(\pi t)\]

4. Найдем скорость изменения угла \(\dot{\phi}\):
\[\dot{\phi} = \frac{d}{dt}\phi = \frac{d}{dt}(\pi t) = \pi\]

5. Найдем ускорение изменения угла \(\ddot{\phi}\):
\[\ddot{\phi} = 0\]

Теперь, подставив найденные значения в формулу для радиального ускорения, получим:
\[\ddot{p} = \left(-4\pi^{2}\cos(\pi t) - 4\cos(\pi t)(\pi)^{2}\right)\mathbf{i} + \left(4\cos(\pi t)(0) + 2(-4\pi\sin(\pi t))(\pi)\right)\mathbf{j}\]

Учитывая, что \(t = 0.5\), найдем значение модуля радиального ускорения:
\[\ddot{p}(t = 0.5) = \left(-4\pi^{2}\cos(\pi \cdot 0.5) - 4\cos(\pi \cdot 0.5)(\pi)^{2}\right)\mathbf{i} + \left(4\cos(\pi \cdot 0.5)(0) + 2(-4\pi\sin(\pi \cdot 0.5))(\pi)\right)\mathbf{j}\]

Выполним вычисления:
\[\ddot{p}(t = 0.5) = \left(-4\pi^{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)(\pi)^{2}\right)\mathbf{i} + \left(4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)(0) + 2(-4\pi\sin\left(\frac{\pi}{2}\right))(\pi)\right)\mathbf{j}\]

Упростим выражение:
\[\ddot{p}(t = 0.5) = \left(-4\pi^{2}(0) - 4(0)(\pi)^{2}\right)\mathbf{i} + \left(0 + 2(-4\pi \cdot 1)(\pi)\right)\mathbf{j}\]

Тогда модуль радиального ускорения будет:
\[\left\| \ddot{p}(t = 0.5) \right\| = \sqrt{\left(-4(0)^{2} - 4(0)(\pi)^{2}\right)^{2} + \left(2(-4\pi \cdot 1)(\pi)\right)^{2}}\]

Продолжим с упрощением:
\[\left\| \ddot{p}(t = 0.5) \right\| = \sqrt{0 + 16\pi^{4}} = 4\pi^{2}\]

Таким образом, модуль радиального ускорения точки в момент времени \(t = 0.5\) с будет \(4\pi^{2}\). Все промежуточные рассуждения и вычисления были представлены, чтобы объяснить шаги, приведшие к этому ответу.