Каков модуль перемещения тела А в плоскости, связанной с Землёй, за период времени от t1=1 с до t2=2 с, если его закон

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для модуля перемещения в полярных координатах:

\[
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

где \(\rho\) - модуль перемещения, \(x\) и \(y\) - координаты движения тела.

Дано, что закон движения задан формулами: \(\rho_A(t) = vt\) и \(\phi_A(t) = \varepsilon t^2\), где \(v = 2\) м/с и \(\varepsilon = \frac{90^\circ}{c^2}\).

Так как нас интересует только модуль перемещения, нам нужно найти значения \(x\) и \(y\) в этих формулах. Мы можем использовать полярные координаты для нахождения значений \(x\) и \(y\).

Полярные координаты задаются следующими формулами:

\[
x = \rho \cdot \cos(\phi)
\]
\[
y = \rho \cdot \sin(\phi)
\]

где \(\phi\) - угол относительно положительного направления \(x\)-оси.

Давайте найдем \(x\) и \(y\) при \(t = t1\) и \(t = t2\).

При \(t = t1 = 1\) с:

\[
\rho_A(t1) = v \cdot t1 = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м}
\]
\[
\phi_A(t1) = \varepsilon \cdot t1^2 = \frac{90^\circ}{c^2} \cdot 1^2 = 90^\circ
\]

Подставим в формулу для \(x\) и \(y\):

\[
x_1 = 2 \cdot \cos(90^\circ) = 0 \text{ м}
\]
\[
y_1 = 2 \cdot \sin(90^\circ) = 2 \text{ м}
\]

При \(t = t2 = 2\) с:
\[
\rho_A(t2) = v \cdot t2 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м}
\]
\[
\phi_A(t2) = \varepsilon \cdot t2^2 = \frac{90^\circ}{c^2} \cdot 2^2 = 360^\circ
\]

Подставим в формулу для \(x\) и \(y\):

\[
x_2 = 4 \cdot \cos(360^\circ) = 4 \text{ м}
\]
\[
y_2 = 4 \cdot \sin(360^\circ) = 0 \text{ м}
\]

Найдем модуль перемещения \(A\) по формуле \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) при \(t = t1\) и \(t = t2\):

При \(t = t1 = 1\) с:

\[
\rho_1 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \text{ м}
\]

При \(t = t2 = 2\) с:
\[
\rho_2 = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ м}
\]

Таким образом, модуль перемещения тела \(A\) в плоскости, связанной с Землей, за период времени от \(t1 = 1\) с до \(t2 = 2\) с равен 4 сантиметрам.