Каков метод для нахождения генеральной дисперсии, основываясь на заданной таблице распределения с элементами Х 2

Для нахождения генеральной дисперсии на основе заданной таблицы распределения с элементами и соответствующими частотами, следует выполнить следующие шаги:

1. Вычислить среднее значение элементов (\( \overline{X} \)). Для этого необходимо умножить каждый элемент на его соответствующую частоту, затем просуммировать все полученные произведения и разделить сумму на общее количество элементов (сумму всех частот).

\[
\overline{X} = \frac{{X_1 \cdot N_1 + X_2 \cdot N_2 + \ldots + X_n \cdot N_n}}{{N_1 + N_2 + \ldots + N_n}}
\]

В нашем случае:

\[
\overline{X} = \frac{{2 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 6}}{{8 + 9 + 5 + 6}}
\]

2. Вычислить дисперсию элементов (\(S^2\)). Для этого необходимо вычислить среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) каждого элемента по формуле:

\[
s_i = \sqrt{\frac{{(X_i - \overline{X})^2 \cdot N_i}}{{N_1 + N_2 + \ldots + N_n}}}
\]

где \(X_i\) - элемент таблицы, \(\overline{X}\) - среднее значение элементов.

Далее необходимо возвести каждое среднеквадратичное отклонение в квадрат и умножить на соответствующую частоту, затем просуммировать все полученные произведения:

\[
S^2 = \frac{{(X_1 - \overline{X})^2 \cdot N_1 + (X_2 - \overline{X})^2 \cdot N_2 + \ldots + (X_n - \overline{X})^2 \cdot N_n}}{{N_1 + N_2 + \ldots + N_n}}
\]

Для нашей таблицы распределения:

\[
\begin{align*}
(s_1)^2 &= \frac{{(2 - \overline{X})^2 \cdot 8}}{{8 + 9 + 5 + 6}} \\
(s_2)^2 &= \frac{{(4 - \overline{X})^2 \cdot 9}}{{8 + 9 + 5 + 6}} \\
(s_3)^2 &= \frac{{(5 - \overline{X})^2 \cdot 5}}{{8 + 9 + 5 + 6}} \\
(s_4)^2 &= \frac{{(6 - \overline{X})^2 \cdot 6}}{{8 + 9 + 5 + 6}} \\
\end{align*}
\]

После этого необходимо сложить все полученные значения дисперсий элементов:

\[
S^2 = (s_1)^2 + (s_2)^2 + (s_3)^2 + (s_4)^2
\]

3. Найти генеральную дисперсию (\(S^2\)) по формуле:

\[
S^2 = \frac{{(X_1 - \overline{X})^2 \cdot N_1 + (X_2 - \overline{X})^2 \cdot N_2 + \ldots + (X_n - \overline{X})^2 \cdot N_n}}{{N_1 + N_2 + \ldots + N_n}}
\]

В нашем случае:

\[
S^2 = \frac{{(2 - \overline{X})^2 \cdot 8 + (4 - \overline{X})^2 \cdot 9 + (5 - \overline{X})^2 \cdot 5 + (6 - \overline{X})^2 \cdot 6}}{{8 + 9 + 5 + 6}}
\]

Итак, метод для нахождения генеральной дисперсии на основе заданной таблицы распределения заключается в вычислении среднего значения элементов (\( \overline{X} \)) и дисперсии элементов (\(S^2\)), а затем сложении значений дисперсий элементов для получения генеральной дисперсии.