1) Сколько существует способов, при которых в пятёрке для приготовления ужина будут только девушки? 2) Сколько

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и решим ее.

1) Сколько существует способов, при которых в пятёрке для приготовления ужина будут только девушки?

У нас имеется пять вакантных мест для гостей на ужине. Из 5 мест нужно выбрать все для девушек. Мы можем рассматривать это как задачу выбора 5 девушек из всего количества девушек, которых у нас есть.

Обозначим количество девушек, которых у нас есть, как \(D\), и давайте предположим, что у нас есть \(D\) девушек. Тогда количество способов выбрать 5 девушек из \(D\) девушек можно записать используя биномиальный коэффициент:

\[\binom{D}{5}\]

2) Сколько существует способов, при которых в пятёрке для приготовления ужина будет 1 юноша и 4 девушки?

Для этой задачи нужно выбрать одного юношу и четырех девушек из всех имеющихся. Также можно использовать биномиальный коэффициент для решения этой задачи:

\[\binom{Y}{1} \cdot \binom{D}{4}\]

где \(Y\) - количество юношей, \(D\) - количество девушек.

3) Сколько существует способов, при которых в пятёрке для приготовления ужина будет 3 юноши и 2 девушки?

Для этой задачи нужно выбрать три юноши и две девушки из имеющихся:

\[\binom{Y}{3} \cdot \binom{D}{2}\]

где \(Y\) - количество юношей, \(D\) - количество девушек.

4) Сколько существует способов, при которых в пятёрке для приготовления ужина будут только юноши?

Для этой задачи нужно выбрать всех пять гостей из юношей, и количество способов можно выразить следующим образом:

\[\binom{Y}{5}\]

где \(Y\) - количество юношей.

Надеюсь, что объяснение было понятным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!