Каков КПД тепловой машины (в процентах), если в идеальной тепловой машине состояние рабочего тела (одноатомный

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для КПД (Коэффициента Полезного Действия) тепловой машины. КПД определяется как отношение полезной работы, совершенной машиной, к затраченной на это количество теплоты:

\[ \text{КПД} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Затраченная теплота}} \times 100\% \]

В нашем случае мы имеем два изохора и два изобара. Изохорический процесс - это процесс, при котором объем газа остается постоянным, а изобарический процесс - это процесс при постоянном давлении.

Пусть \(V_1\) - начальный объем, \(V_2\) - конечный объем, \(P_1\) - начальное давление и \(P_2\) - конечное давление.

Из условия задачи, максимальное давление газа в два раза превышает минимальное, то есть \(P_1 = P\) и \(P_2 = 2P\).

Также, максимальный объем равен полутора разам минимального, то есть \(V_2 = \frac{3}{2}V_1\).

Теперь рассмотрим пошаговое решение:

Шаг 1: Рассчитаем полезную работу машины. Полезная работа равна модулю работы, совершенной газом во время изохорического и изобарического процессов.

Прежде всего, определим работу газа во время изохорического процесса. В изохорическом процессе объем газа остается постоянным, поэтому работа газа равна нулю.

\[ W_1 = 0 \]

Далее, определим работу газа во время изобарического процесса. Работа газа в этом случае определяется по формуле:

\[ W_2 = P \cdot (V_2 - V_1) \]

Подставляем значение \(V_2 = \frac{3}{2}V_1\) и \(P_2 = 2P\):

\[ W_2 = P \cdot \left(\frac{3}{2}V_1 - V_1\right) = \frac{1}{2}P \cdot V_1 \]

Теперь суммируем работу газа во время обоих процессов:

\[ W_{\text{полезная}} = W_1 + W_2 = 0 + \frac{1}{2}P \cdot V_1 = \frac{1}{2}P \cdot V_1 \]

Шаг 2: Рассчитаем затраченную теплоту. Затраченная теплота равна модулю теплоты, переданной газу во время изохорического и изобарического процессов.

Определяем теплоту, переданную газу во время изохорического процесса. В изохорическом процессе объем газа остается постоянным, поэтому теплота, переданная газу, равна:

\[ Q_1 = \frac{3}{2}P \cdot V_1 \cdot \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) \]

Теперь рассчитаем теплоту, переданную газу во время изобарического процесса. Теплота, переданная газу, определяется по формуле:

\[ Q_2 = P \cdot (V_2 - V_1) \]

Подставляем значения \(V_2 = \frac{3}{2}V_1\) и \(P_2 = 2P\):

\[ Q_2 = P \cdot \left(\frac{3}{2}V_1 - V_1\right) = \frac{1}{2}P \cdot V_1 \]

Теперь суммируем теплоту, переданную газу во время обоих процессов:

\[ Q_{\text{затраченная}} = Q_1 + Q_2 = \frac{3}{2}P \cdot V_1 \cdot \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + \frac{1}{2}P \cdot V_1 \]

Шаг 3: Теперь рассчитаем КПД тепловой машины, используя полученные значения полезной работы и затраченной теплоты:

\[ \text{КПД} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Затраченная теплота}} \times 100\% \]

Подставим значения полезной работы \( W_{\text{полезная}} = \frac{1}{2}P \cdot V_1 \) и затраченной теплоты \( Q_{\text{затраченная}} = \frac{3}{2}P \cdot V_1 \cdot \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + \frac{1}{2}P \cdot V_1 \)

\[ \text{КПД} = \frac{\frac{1}{2}P \cdot V_1}{\frac{3}{2}P \cdot V_1 \cdot \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + \frac{1}{2}P \cdot V_1} \times 100\% \]

\[ \text{КПД} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} \cdot \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + \frac{1}{2}} \times 100\% \]

Теперь подставим значение \(V_2 = \frac{3}{2}V_1\):

\[ \text{КПД} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} \cdot \ln \left(\frac{\frac{3}{2}V_1}{V_1}\right) + \frac{1}{2}} \times 100\% \]

\[ \text{КПД} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} \cdot \ln \left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{2}} \times 100\% \]

\[ \text{КПД} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} \cdot \ln \left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{2}} \times 100\% \]

Теперь вычислим полученное значение и получим окончательное значение КПД тепловой машины.