Каков косинус угла между вектором b=6m+n и вектором c=m-3n, если вектор m является перпендикулярным вектору n и длина

Давайте рассмотрим данную задачу о векторах подробнее.

У нас есть вектор b = 6m + n и вектор c = m - 3n, где вектор m перпендикулярен вектору n. Также известно, что длина векторов m и n равна \(\|\vec{m}\| = \|\vec{n}\|\).

Для определения косинуса угла между двумя векторами, мы можем использовать формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{b} \cdot \vec{c}}}{{\|\vec{b}\| \cdot \|\vec{c}\|}}
\]

где \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) обозначает скалярное произведение векторов b и c, а \(\|\vec{b}\|\) и \(\|\vec{c}\|\) обозначают длины этих векторов.

Давайте вычислим сначала скалярное произведение векторов b и c:

\[
\vec{b} \cdot \vec{c} = (6m + n) \cdot (m - 3n)
\]

\[
\vec{b} \cdot \vec{c} = 6m \cdot m + 6m \cdot (-3n) + n \cdot m + n \cdot (-3n)
\]

\[
\vec{b} \cdot \vec{c} = 6m^2 - 18mn + nm - 3n^2
\]

Зная, что вектор m перпендикулярен вектору n, то скалярное произведение \(m \cdot n\) будет равно нулю, поэтому нам остаются только два слагаемых:

\[
\vec{b} \cdot \vec{c} = 6m^2 - 3n^2
\]

Теперь рассмотрим длины векторов b и c:

\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{(6m + n) \cdot (6m + n)}
\]

\[
\|\vec{b}\| = \sqrt{36m^2 + 12mn + n^2}
\]

\[
\|\vec{c}\| = \sqrt{(m - 3n) \cdot (m - 3n)}
\]

\[
\|\vec{c}\| = \sqrt{m^2 - 6mn + 9n^2}
\]

Теперь, подставив значения скалярного произведения и длин векторов в формулу для косинуса угла, получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{{6m^2 - 3n^2}}{{\sqrt{36m^2 + 12mn + n^2} \cdot \sqrt{m^2 - 6mn + 9n^2}}}
\]

Таким образом, косинус угла между векторами b и c равен \(\frac{{6m^2 - 3n^2}}{{\sqrt{36m^2 + 12mn + n^2} \cdot \sqrt{m^2 - 6mn + 9n^2}}}\).