Каков косинус угла между векторами m=3a-b и n=a+4b, если a и b являются перпендикулярными и имеют одинаковую длину

Пусть a и b - перпендикулярные векторы с одинаковой длиной, равной L.

Мы можем найти косинус угла между векторами m и n, используя следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}}{{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|}}
\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{m}|\) и \(|\mathbf{n}|\) - длины векторов m и n соответственно.

Давайте найдем сначала скалярное произведение m и n:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (3a - b) \cdot (a + 4b)
\]

Раскрыв скобки, получим:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3a \cdot a + 3a \cdot 4b - b \cdot a - b \cdot 4b
\]

Так как a и b являются перпендикулярными, то их скалярное произведение равно нулю. Также заметим, что a и b имеют одинаковую длину L, поэтому \(a \cdot a = L^2\) и \(b \cdot b = L^2\). Получаем:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3L^2 - 4L^2 = -L^2
\]

Теперь найдем длины векторов m и n:

\[
|\mathbf{m}| = |3a - b| = \sqrt{(3a - b) \cdot (3a - b)}
\]

Раскрыв скобки и используя перпендикулярность a и b, получим:

\[
|\mathbf{m}| = \sqrt{9a \cdot a - 6a \cdot b + b \cdot b} = \sqrt{9L^2 + L^2} = \sqrt{10L^2} = \sqrt{10}L
\]

Аналогично для n:

\[
|\mathbf{n}| = |a + 4b| = \sqrt{(a + 4b) \cdot (a + 4b)} = \sqrt{L^2 + 16L^2} = \sqrt{17L^2} = \sqrt{17}L
\]

Теперь можем найти косинус угла \(\theta\):

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}}{{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|}} = \frac{{-L^2}}{{\sqrt{10}L \cdot \sqrt{17}L}} = \frac{{-L^2}}{{\sqrt{10 \cdot 17}L^2}} = \frac{{-1}}{{\sqrt{170}}}
\]

Таким образом, косинус угла между векторами m и n равен \(-\frac{1}{{\sqrt{170}}}\).