Каков косинус острого угла между прямыми ac и bd при известных координатах точек a(-1; 0), b(5; -2), c(2; 3), d(3

Для начала нам нужно вычислить векторы ac и bd. Мы можем сделать это, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки каждой прямой.

Вектор ac:

\[
\begin{align*}
ac &= \begin{pmatrix} x_c - x_a \\ y_c - y_a \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 3 - 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}
\end{align*}
\]

Вектор bd:

\[
\begin{align*}
bd &= \begin{pmatrix} x_d - x_b \\ y_d - y_b \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ 3 - (-2) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}
\end{align*}
\]

Теперь вычислим скалярное произведение этих двух векторов. Для этого умножим соответствующие компоненты векторов и сложим получившиеся произведения:

\[
ac \cdot bd = (3 \cdot -2) + (3 \cdot 5) = -6 + 15 = 9
\]

Далее, вычислим длины каждого из этих векторов:

Длина вектора ac вычисляется по формуле:

\[
\|ac\| = \sqrt{(3^2) + (3^2)} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}
\]

Длина вектора bd вычисляется по формуле:

\[
\|bd\| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
\]

Наконец, вычислим косинус угла между прямыми ac и bd по формуле:

\[
\cos(\theta) = \frac{ac \cdot bd}{\|ac\| \cdot \|bd\|}
\]

Подставим значения, которые мы уже вычислили:

\[
\cos(\theta) = \frac{9}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{29}}
\]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

\[
9
\]

Знаменатель:

\[
\sqrt{18} \cdot \sqrt{29} = \sqrt{18 \cdot 29} = \sqrt{522}
\]

Таким образом, косинус острого угла между прямыми ac и bd при заданных координатах точек a(-1; 0), b(5; -2), c(2; 3), d(3; 3) равен:

\[
\cos(\theta) = \frac{9}{\sqrt{522}}
\]