Какой радиус основания цилиндра, если его площадь равна 12π и высота равна 3? Каков объем меньшего конуса, если объем

Конечно! Давайте решим обе задачи по очереди. Начнем с первой задачи.

1. Радиус основания цилиндра:
У нас дана площадь основания цилиндра, которая равна 12π, и высота цилиндра, которая равна 3. Чтобы найти радиус основания, мы будем использовать формулу для площади основания цилиндра: \(S = πr^2\), где S - площадь, а r - радиус.

Нам дано, что \(S = 12π\), поэтому мы можем записать уравнение:
\[12π = πr^2\]

Чтобы найти радиус, нам нужно избавиться от множителя π. Для этого мы разделим обе стороны уравнения на π:
\[12 = r^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\(\sqrt{12} = r\)

Вычислим это значение:
\[r \approx 3.46\]

Таким образом, радиус основания цилиндра примерно равен 3.46.

Теперь перейдем ко второй задаче:

2. Объем меньшего конуса:
У нас дано, что объем большего конуса равен 128. Мы будем искать объем меньшего конуса, который имеет сечение, проведенное через середину высоты параллельно основанию, с тем же конусом.

Объем конуса можно вычислить по формуле: \(V = \frac{1}{3}πr^2h\), где V - объем, r - радиус основания и h - высота конуса.

Таким образом, объем большего конуса равен 128, а радиус и высота меньшего конуса в два раза меньше большего конуса.

Обозначим радиус меньшего конуса как r1 и высоту как h1. Тогда можем записать соотношение:
\(\frac{1}{3}π(r1^2)(h1) = 128\)

Поскольку радиус и высота меньшего конуса в два раза меньше, мы можем заменить r1 на \(\frac{r}{2}\) и h1 на \(\frac{h}{2}\):
\(\frac{1}{3}π\left(\frac{r}{2}\right)^2\left(\frac{h}{2}\right) = 128\)

Упростим выражение:
\(\frac{1}{3}π\frac{r^2}{4}\frac{h}{2} = 128\)
\(\frac{1}{12}πr^2h = 128\)

Теперь найдем объем меньшего конуса, подставив известные значения:
\(\frac{1}{12}πr^2h = 128\)
\(πr^2h = 128 \cdot 12\)
\(πr^2h = 1536\)

Таким образом, объем меньшего конуса равен 1536.