Каков коэффициент при a^3 в выражении (a+1/a)^9, полученном с помощью формулы бинома Ньютона?

Конечно! Давайте решим данную задачу.

Для начала, нам понадобится формула бинома Ньютона, которая позволяет раскрыть выражение вида \((a+b)^n\), где \(a\) и \(b\) - произвольные числа, а \(n\) - натуральное число. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь применим эту формулу к задаче.

У нас дано выражение \((a+1/a)^9\), и мы хотим найти коэффициент при \(a^3\).

Раскроем выражение \((a+1/a)^9\) с помощью формулы бинома Ньютона:

\((a+1/a)^9 = \binom{9}{0}a^9 (1/a)^0 + \binom{9}{1}a^8 (1/a)^1 + \binom{9}{2}a^7 (1/a)^2 + \binom{9}{3}a^6 (1/a)^3 + \ldots + \binom{9}{9}a^0 (1/a)^9\)

Теперь посмотрим на слагаемое \(\binom{9}{3}a^6 (1/a)^3\) и видим, что оно содержит \(a^6\) и \((1/a)^3\). Чтобы получить \(a^3\) в итоговом ответе, необходимо перемножить эти две части.

Вычислим значение биномиального коэффициента \(\binom{9}{3}\):

\[\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}\]

Так как \(\binom{9}{3} = \binom{9}{6}\) (из симметричности биномиальных коэффициентов), можно упростить формулу следующим образом:

\[\binom{9}{3} = \binom{9}{6} = \frac{9!}{6! \cdot 3!}\]

Теперь заменим это значение в исходном выражении:

\((a+1/a)^9 = \binom{9}{0}a^9 (1/a)^0 + \binom{9}{1}a^8 (1/a)^1 + \binom{9}{2}a^7 (1/a)^2 + \binom{9}{3}a^6 (1/a)^3 + \ldots + \binom{9}{9}a^0 (1/a)^9\)
\(= a^9 + \binom{9}{1}a^8 (1/a) + \binom{9}{2}a^7 (1/a)^2 + \binom{9}{3}a^6 (1/a)^3 + \ldots + \binom{9}{9}a^0 (1/a)^9\)
\(= a^9 + \binom{9}{1}a^7 + \binom{9}{2}a^5 + \binom{9}{3}a^3 + \binom{9}{4}a^1 + \binom{9}{5}a^{-1} + \binom{9}{6}a^{-3} + \binom{9}{7}a^{-5} + \binom{9}{8}a^{-7} + \binom{9}{9}a^{-9}\)

Таким образом, мы получили раскрытое выражение \((a+1/a)^9\). Чтобы найти коэффициент при \(a^3\), нужно обратить внимание на слагаемое \(\binom{9}{3}a^6 (1/a)^3\).

Подставим значение \(\binom{9}{3}\):

\[Коэффициент\ при\ a^3 = \binom{9}{3} = \binom{9}{6} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\]

Таким образом, коэффициент при \(a^3\) в выражении \((a+1/a)^9\) равен 84.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!