Каков график функции y = -2.5sin(x) + 0.5? Найдите а) область значений функции б) интервалы убывания функции

Конечно, давайте решим эту задачу пошагово, чтобы ответ был понятен.

а) Чтобы найти область значений функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\), нужно определить, какие значения может принимать \(y\) при всех возможных значениях \(x\). Для этого вспомним, что синусная функция \(\sin(x)\) может принимать значения от -1 до 1.

Таким образом, чтобы найти область значений функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\), мы должны найти минимальное и максимальное значение \(\sin(x)\) и использовать их для расчета соответствующих значений \(y\).

Минимальное значение синусной функции -1 достигается при \(x = -\frac{\pi}{2}\). Подставим это значение в функцию и найдем соответствующее значение \(y\):
\[y_{\text{min}} = -2.5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 0.5 = -2.5(-1) + 0.5 = 3 - 0.5 = 2.5\]

Максимальное значение синусной функции 1 достигается при \(x = \frac{\pi}{2}\). Подставим это значение в функцию и найдем соответствующее значение \(y\):
\[y_{\text{max}} = -2.5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 0.5 = -2.5(1) + 0.5 = -2 + 0.5 = -1.5\]

Таким образом, область значений функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\) состоит из всех значений \(y\), таких что \(2.5 \geq y \geq -1.5\).

б) Чтобы найти интервалы убывания функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\), нужно определить, при каких значениях \(x\) функция \(y\) убывает.

Убывание функции означает, что значения функции \(y\) уменьшаются при увеличении значения \(x\).

Для этого рассмотрим производную функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\). Производная функции показывает, как меняется значение функции в зависимости от изменения аргумента.

\[y" = \frac{d}{dx}(-2.5\sin(x) + 0.5) = -2.5\cos(x)\]

Мы знаем, что косинусная функция \(\cos(x)\) имеет максимальное значение 1 при \(x = 0\) и минимальное значение -1 при \(x = \pi\).

Таким образом, производная функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\) положительна при \(0 < x < \pi\), что означает, что функция \(y\) убывает на этом интервале.

Следовательно, интервалы убывания функции \(y = -2.5\sin(x) + 0.5\) - это все значения \(x\), такие что \(0 < x < \pi\).

Вот и все. Область значений функции состоит из всех значений \(y\), таких что \(2.5 \geq y \geq -1.5\), а интервалы убывания - это все значения \(x\), такие что \(0 < x < \pi\).