Каков будет множитель уменьшения площади поверхности шестиугольной призмы, если уменьшить все её ребра в 2,3 раза?

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства геометрических фигур. Давайте начнем с определения площади поверхности шестиугольной призмы.

Шестиугольная призма состоит из двух правильных пятиугольных оснований и шести равных прямоугольных граней, соединяющих эти основания. Полная площадь поверхности шестиугольной призмы вычисляется по формуле:

\[P = 2 \cdot A + 6 \cdot G\]

где \(P\) - площадь поверхности, \(A\) - площадь основания, \(G\) - площадь боковой грани.

Для правильного пятиугольника известна формула для расчета площади:

\[A = \frac{5s^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{5})}\]

где \(A\) - площадь основания, \(s\) - длина стороны пятиугольника.

Мы должны уменьшить все ребра призмы в 2,3 раза. Если длина каждого ребра уменьшается в \(k\) раз, то площадь основания каждой меньшей призмы уменьшится в \(k^2\) раз, а площадь каждой боковой грани уменьшится в \(k\) раз.

После уменьшения длины ребер призмы в 2,3 раза, новые длины сторон основания будут равны \(2,3s\) и площадь основания меньшей призмы будет равна:

\[A" = \frac{5(2,3s)^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{5})}\]

Аналогично, площадь каждой боковой грани меньшей призмы будет равна:

\[G" = k \cdot G\]

где \(k = 2,3\) - коэффициент уменьшения.

Таким образом, общая площадь поверхности меньшей призмы будет равна:

\[P" = 2 \cdot A" + 6 \cdot G"\]

Подставим выражения для \(A"\) и \(G"\):

\[P" = 2 \cdot \frac{5(2,3s)^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{5})} + 6 \cdot (2,3 \cdot G)\]

Теперь, чтобы найти множитель уменьшения площади поверхности, мы должны поделить новую площадь поверхности на исходную:

\[Множитель = \frac{P"}{P}\]

Подставим выражение для \(P"\) и \(P\) в формулу для множителя:

\[Множитель = \frac{2 \cdot \frac{5(2,3s)^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{5})} + 6 \cdot (2,3 \cdot G)}{2 \cdot A + 6 \cdot G}\]

Таким образом, множитель уменьшения площади поверхности шестиугольной призмы при уменьшении всех её ребер в 2,3 раза будет равен выражению:

\[Множитель = \frac{2 \cdot \frac{5(2,3s)^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{5})} + 6 \cdot (2,3 \cdot G)}{2 \cdot A + 6 \cdot G}\]

На этом решение задачи завершено. Мы получили выражение для множителя уменьшения площади поверхности шестиугольной призмы.