каком-то внеобразном месте) и разместили всех учеников на этих местах таким образом, что хотя бы одно место осталось

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод разделяй и властвуй. Давайте представим, что в 5 классе всего \( n \) учеников. Если хотя бы одно место осталось свободным, то это означает, что не все ученики могут занять свои места.

Заметим, что каждый ученик занимает одно место в классе. Таким образом, если у нас есть \( n \) учеников и одно свободное место, это означает, что у нас всего \( n + 1 \) мест в классе.

Теперь давайте посмотрим, какое количество учеников может быть в классе при разных количествах свободных мест:

- Если у нас есть 1 свободное место, то это означает, что всего в классе \( n + 1 \) ученик. Это базовый случай.

- Если у нас есть 2 свободных места, то это означает, что у нас может быть \( 2 \cdot (n + 1) \) учеников. Почему? Представьте, что мы добавляем еще одно свободное место в классе. Теперь каждый ученик может выбрать себе место из двух доступных, поскольку одно место все равно останется свободным.

- Аналогично, если у нас есть 3 свободных места, то это означает, что у нас может быть \( 3 \cdot (n + 1) \) учеников.

- И так далее, для каждого количества свободных мест мы можем увеличивать количество учеников в классе на \( k \cdot (n + 1) \), где \( k \) - количество свободных мест.

Теперь вернемся к нашей задаче. Мы знаем, что у нас есть хотя бы 1 свободное место, поэтому мы можем использовать формулу \( k \cdot (n + 1) \), где \( k \) - количество свободных мест, чтобы найти минимальное количество учеников в классе.

Давайте подставим \( k = 1 \) в формулу: \( 1 \cdot (n + 1) \). Нам известно, что это число должно быть больше или равно количеству учеников в 5 классе. Таким образом, мы можем записать неравенство:

\[ 1 \cdot (n + 1) \geqslant n \]

Теперь решим это неравенство:

\[ n + 1 \geqslant n \]

Вычитаем \( n \) из обеих частей:

\[ 1 \geqslant 0 \]

Это верное утверждение, которое всегда выполняется. Это означает, что минимальное количество учеников в 5 классе, при котором хотя бы одно место останется свободным, является бесконечностью.