Какое значение переменной t приводит к равности произведению и разности дробей (1)/(t−4) и (3)/(t+4)?

Чтобы найти значение переменной t, которое приводит к равенству произведению и разности двух дробей \(\frac{1}{{t-4}}\) и \(\frac{3}{{t+4}}\), мы должны установить равенство между двумя дробями и решить полученное уравнение.

Начнем с установления равенства:

\(\frac{1}{{t-4}} = \frac{3}{{t+4}}\)

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель, который равен произведению \((t-4)\) и \((t+4)\):

\((t-4) \cdot \frac{1}{{t-4}} = (t-4) \cdot \frac{3}{{t+4}}\)

На левой стороне знаменатели \((t-4)\) сокращаются, и мы получаем:

\(1 = 3 \cdot \frac{{t-4}}{{t+4}}\)

Сократим 3 со знаменателем \((t+4)\):

\(1 = \frac{{3(t-4)}}{{t+4}}\)

Умножим обе стороны уравнения на \((t+4)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(1 \cdot (t+4) = \frac{{3(t-4)}}{{t+4}} \cdot (t+4)\)

Раскроем скобки:

\(t + 4 = 3(t-4)\)

Распределим 3 в выражении справа:

\(t + 4 = 3t - 12\)

Теперь соберем все слагаемые с переменной t влево, а все числа вправо:

\(t - 3t = -12 - 4\)

Упростим выражение:

\(-2t = -16\)

Чтобы найти значение переменной t, разделим обе стороны уравнения на -2:

\(\frac{\(-2t\)}{\((-2\))} = \frac{\((-16)\)}{\((-2\))}\)

Сокращаем:

\(t = 8\)

Итак, значение переменной t, которое приводит к равенству произведения и разности дробей \(\frac{1}{{t-4}}\) и \(\frac{3}{{t+4}}\), равно 8.