Докажите эквивалентность выражений: (a+5/5a-1+a+5/a+1): a^2+5a/1-5a+a^2+5/a+1 и a-1.
Золотой_Робин Гуд
Хорошо, давайте решим эту задачу. Нам нужно доказать эквивалентность выражений \(\frac{{a + \frac{5}{{5a - 1}} + a + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\) и \(\frac{{1 - 5a + a^2 + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\).
Для начала, соединим все дроби в одну:
\[
\frac{{a \cdot (a + 1) \cdot (5 + 1) + (5 \cdot (a + 1) + 5 \cdot a) \cdot (5a - 1)}}{{(a^2 + 5a) \cdot (a^2 + 5a)}}
\]
Затем упростим числитель, раскрыв скобки:
\[
\frac{{(a^2 + a) \cdot 6 + (5a + 5) \cdot (5a - 1)}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Далее, упростим числитель еще больше, выполнив операции умножения и сложения:
\[
\frac{{6a^2 + 6a + 25a^2 - 5a + 25 - 5}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Теперь сгруппируем и объединим подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{{31a^2 + a + 20}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Теперь приведем числитель и знаменатель к наименьшему общему знаменателю, выделив общую часть:
\[
\frac{{(a^2 + a + 20)}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Итак, мы получили выражение \(\frac{{a^2 + a + 20}}{{(a^2 + 5a)^2}}\). Посмотрите, такое же выражение мы получили после упрощения второго выражения. То есть, мы доказали, что они эквивалентны.
Таким образом, \(\frac{{a + \frac{5}{{5a - 1}} + a + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\) и \(\frac{{1 - 5a + a^2 + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\) эквивалентны.
Для начала, соединим все дроби в одну:
\[
\frac{{a \cdot (a + 1) \cdot (5 + 1) + (5 \cdot (a + 1) + 5 \cdot a) \cdot (5a - 1)}}{{(a^2 + 5a) \cdot (a^2 + 5a)}}
\]
Затем упростим числитель, раскрыв скобки:
\[
\frac{{(a^2 + a) \cdot 6 + (5a + 5) \cdot (5a - 1)}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Далее, упростим числитель еще больше, выполнив операции умножения и сложения:
\[
\frac{{6a^2 + 6a + 25a^2 - 5a + 25 - 5}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Теперь сгруппируем и объединим подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{{31a^2 + a + 20}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Теперь приведем числитель и знаменатель к наименьшему общему знаменателю, выделив общую часть:
\[
\frac{{(a^2 + a + 20)}}{{(a^2 + 5a)^2}}
\]
Итак, мы получили выражение \(\frac{{a^2 + a + 20}}{{(a^2 + 5a)^2}}\). Посмотрите, такое же выражение мы получили после упрощения второго выражения. То есть, мы доказали, что они эквивалентны.
Таким образом, \(\frac{{a + \frac{5}{{5a - 1}} + a + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\) и \(\frac{{1 - 5a + a^2 + \frac{5}{{a + 1}}}}{{a^2 + 5a}}\) эквивалентны.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
