Какое значение может иметь общий корень для уравнений x^2+2019ax+b=0 и x^2+2019bx+a=0, если a ≠ b (подробное

Давайте начнем с заданной системы уравнений:

\[x^2 + 2019ax + b = 0 \quad (1)\]
\[x^2 + 2019bx + a = 0 \quad (2)\]

Чтобы найти значения x, при которых оба уравнения равны нулю, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Давайте воспользуемся методом исключения переменных.

Для начала, возьмем выражение (1) и умножим его на b:

\[b(x^2 + 2019ax + b) = 0\]
\[bx^2 + 2019abx + b^2 = 0 \quad (3)\]

Затем, возьмем выражение (2) и умножим его на a:

\[a(x^2 + 2019bx + a) = 0\]
\[ax^2 + 2019abx + a^2 = 0 \quad (4)\]

Теперь давайте вычтем уравнение (4) из уравнения (3), чтобы исключить квадратичные члены:

\[(bx^2 + 2019abx + b^2) - (ax^2 + 2019abx + a^2) = 0\]
\[(b - a)x^2 + (b^2 - a^2) = 0\]

Заметим, что \(b^2 - a^2\) можно представить как \((b - a)(b + a)\):

\[(b - a)x^2 + (b - a)(b + a) = 0\]

Теперь, поскольку \(b - a \neq 0\) (так как дано, что \(a \neq b\)), мы можем поделить оба выражения на \(b - a\):

\[(b - a)x^2 + (b - a)(b + a) = 0\]
\[(b - a)(x^2 + b + a) = 0\]

Таким образом, можем получить следующее уравнение:

\[x^2 + a + b = 0 \quad (5)\]

Теперь давайте рассмотрим уравнение (5). Как мы можем заметить, оно выражает, что сумма корней равна -(a + b). Какое значение должен иметь общий корень, чтобы сумма корней в двух квадратных уравнениях была такой же? Чтобы сумма корней была одинаковой, необходимо, чтобы общий корень был равен половине суммы коэффициентов при x. То есть, общий корень должен быть -\(\frac{{a + b}}{2}\).

Таким образом, ответом на задачу является значение общего корня для данных уравнений: -\(\frac{{a + b}}{2}\).

Надеюсь, объяснение было понятным. Если у вас есть еще вопросы или что-то неясно, пожалуйста, дайте мне знать!