Какое значение k надо выбрать, чтобы уравнения k + 1 = 2 − 3 x и 2 k + 1 = 2 x − 1 имели один и тот же корень?

Для того чтобы определить значение \( k \), при котором два уравнения имеют один и тот же корень, мы должны приравнять оба уравнения друг к другу и решить полученное уравнение относительно \( k \).

Итак, начнем с уравнения \( k + 1 = 2 - 3x \).
Перенесем все члены уравнения с \( k \) на одну сторону, а все члены с \( x \) на другую сторону:
\[ k = 2 - 3x - 1 \]
\[ k = 1 - 3x \] (1)

Теперь рассмотрим второе уравнение \( 2k + 1 = 2x - 1 \).
Аналогично, перенесем все члены с \( k \) на одну сторону, а все члены с \( x \) на другую сторону:
\[ 2k = 2x - 1 - 1 \]
\[ 2k = 2x - 2 \]

Мы знаем, что у этих двух уравнений должен быть один и тот же корень.
Однако, для упрощения решения, давайте избавимся от дробей в первом уравнении, умножив обе его стороны на 2:
\[ 2k = 2(1 - 3x) \]
\[ 2k = 2 - 6x \]

Теперь у нас есть два уравнения без дробей:
\[ 2k = 2x - 2 \] (2)
\[ 2k = 2 - 6x \] (3)

Для того чтобы корни этих уравнений совпадали, необходимо, чтобы оба уравнения были тождественно равны друг другу.

Приравняем коэффициенты перед \( k \) в уравнениях (2) и (3):
\[ 2x - 2 = 2 - 6x \]

Теперь решим полученное уравнение относительно \( x \):
\[ 2x + 6x = 2 + 2 \]
\[ 8x = 4 \]
\[ x = \frac{4}{8} \]
\[ x = \frac{1}{2} \]

Теперь, чтобы найти \( k \), мы можем использовать любое из наших исходных уравнений (1) или (2).

Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в уравнение (1):
\[ k = 1 - 3\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ k = 1 - \frac{3}{2} \]
\[ k = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \]
\[ k = -\frac{1}{2} \]

Итак, чтобы уравнения \( k + 1 = 2 - 3x \) и \( 2k + 1 = 2x - 1 \) имели один и тот же корень, необходимо выбрать \( k = -\frac{1}{2} \).