Какие значения х приводят к параллельным касательным графиков функций f(x)=3cos(5x) и g(x)=5cos(3x)+2?

Чтобы найти значения \(x\), при которых графики функций \(f(x) = 3\cos(5x)\) и \(g(x) = 5\cos(3x) + 2\) будут иметь параллельные касательные, мы должны рассмотреть их производные и приравнять их друг к другу. Давайте посмотрим на каждую функцию по отдельности.

1. Функция \(f(x) = 3\cos(5x)\):
Для начала, найдем производную этой функции. Функция \(\cos(x)\) имеет производную \(-\sin(x)\). Используя правило цепочки, мы получаем производную функции \(f(x)\) следующим образом:

\[f"(x) = -3\sin(5x) \cdot \frac{d}{dx}(5x) = -3\sin(5x) \cdot 5 = -15\sin(5x)\]

2. Функция \(g(x) = 5\cos(3x) + 2\):
Аналогично, найдем производную этой функции. Производная функции \(\cos(x)\) также равна \(-\sin(x)\), и мы получаем:

\[g"(x) = -5\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -5\sin(3x) \cdot 3 = -15\sin(3x)\]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), при которых производные функций равны друг другу, мы приравниваем уравнение \(f"(x) = g"(x)\) и решаем его:

\[-15\sin(5x) = -15\sin(3x)\]

Разделим обе части уравнения на \(-15\), чтобы упростить его:

\[\sin(5x) = \sin(3x)\]

Есть несколько способов решить это уравнение, однако можно заметить, что если два синуса равны, то углы под ними могут быть либо равны, либо их сумма может быть кратна \(\pi\). Итак, у нас есть два возможных случая:

1. \(\sin(5x) = \sin(3x)\) и \(5x = 3x\):
Решаем первое уравнение:
\[5x = 3x\]
Отнимаем \(3x\) от обеих сторон:
\[2x = 0\]
Разделим обе части на 2:
\[x = 0\]

2. \(\sin(5x) = \sin(3x)\) и \(5x + 3x = (2n + 1)\pi\):
Решаем второе уравнение:
\[5x + 3x = (2n + 1)\pi\]
Складываем \(5x\) и \(3x\):
\[8x = (2n + 1)\pi\]
Делим обе части на 8:
\[x = \frac{(2n + 1)\pi}{8}\]

Таким образом, значения \(x\), при которых графики функций \(f(x) = 3\cos(5x)\) и \(g(x) = 5\cos(3x) + 2\) имеют параллельные касательные, будут \(x = 0\) и \(x = \frac{(2n + 1)\pi}{8}\), где \(n\) - целое число.