Какова сумма всех натуральных чисел, которые кратны 7, превышают 100 и меньше 500?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 7 и находятся в интервале от 101 до 499. Давайте решим ее шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Первое число, которое удовлетворяет условию, находится в интервале от 101 до 499. Так как 101 не кратно 7, мы начинаем с 105, а затем увеличиваем на 7 для нахождения следующих чисел, которые кратны 7.
Мы можем использовать формулу для нахождения количества чисел в арифметической прогрессии:
\[n = \frac{{a2 - a1}}{{d}} + 1\],
где \(n\) - количество чисел, \(a1\) - первое число, \(a2\) - последнее число, \(d\) - шаг (в данном случае 7).

Давайте найдем \(a1\), \(a2\) и \(d\):
\(a1 = 105\) (первое число, кратное 7 и больше 100)
\(a2 = 497\) (последнее число, кратное 7 и меньше 500)
\(d = 7\) (шаг)

Теперь можем подставить значения в формулу для нахождения количества чисел:
\[n = \frac{{497 - 105}}{{7}} + 1\]

Шаг 2: Найдем сумму всех этих чисел.
Чтобы найти сумму всех чисел, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{{n \cdot (a1 + a2)}}{2}\]
где \(S\) - сумма, \(n\) - количество чисел, \(a1\) - первое число, \(a2\) - последнее число.

Давайте подставим значения, чтобы найти сумму:
\[S = \frac{{n \cdot (105 + 497)}}{2}\]

Шаг 3: Вычислим итоговый ответ.
Подставим значение \(n\), которое мы нашли на шаге 1, и \(S\), которое мы найдем на шаге 2:
\[S = \frac{{\left( \frac{{497 - 105}}{{7}} + 1 \right) \cdot (105 + 497)}}{2}\]
После вычислений мы получим окончательный ответ:

\[S = 7140\]

Итак, сумма всех натуральных чисел, которые кратны 7, превышают 100 и меньше 500, равна 7140.