Какое значение имеет выражение √t^5+3+√t^5-2=1?

Для начала рассмотрим данное выражение:

\[\sqrt{t^5 + 3} + \sqrt{t^5 - 2} = 1\]

Наша задача состоит в том, чтобы найти значение переменной \(t\), при котором это выражение равно 1.

Для решения данной задачи мы воспользуемся методом подстановки.

Заметим, что подкоренные выражения в данном уравнении неотрицательны, поскольку значения \(t^5 + 3\) и \(t^5 - 2\) должны быть больше или равны нулю.

Попробуем провести подстановку. Предположим, что значение выражения под корнем \(\sqrt{t^5 + 3}\) равно \(a\), а значение выражения под корнем \(\sqrt{t^5 - 2}\) равно \(b\), тогда у нас получится следующая система уравнений:

\[a + b = 1\]
\[a^2 = t^5 + 3\]
\[b^2 = t^5 - 2\]

Теперь решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения находим выражение для переменной \(a\):

\[a = 1 - b\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[(1 - b)^2 = t^5 + 3\]

Раскроем скобки:

\[1 - 2b + b^2 = t^5 + 3\]

Получим:

\[b^2 - 2b + 1 = t^5 + 3\]

Перенесем все члены уравнения влево:

\[b^2 - 2b - (t^5 + 3 - 1) = 0\]

\[b^2 - 2b - t^5 - 2 = 0\]

Теперь посчитаем дискриминант данного квадратного уравнения:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-t^5 - 2)\]

\[D = 4 + 4t^5 + 8\]

\[D = 4t^5 + 12\]

Для того, чтобы найти значение переменной \(t\), рассмотрим случаи, когда дискриминант принимает разные значения.

1) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\[b_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{4t^5 + 12}}{2} = \frac{2 + \sqrt{4t^5 + 12}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{4t^5 + 12}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{4(t^5 + 3)}}{2}\]

\[b_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{4t^5 + 12}}{2} = \frac{2 - \sqrt{4t^5 + 12}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{4(t^5 + 3)}}{2}\]

Таким образом, возможное значение переменной \(b\) будет равно одному из этих двух корней.

2) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень:

\[b_1 = \frac{-(-2)}{2} = 1\]

3) Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней, так как дискриминант меньше нуля.

Рассмотрим значения переменной \(b\) для каждого случая:

1) Когда \(D > 0\), значение переменной \(b\) будет равно \(b_1\) или \(b_2\).

2) Когда \(D = 0\), значение переменной \(b\) будет равно 1.

3) Когда \(D < 0\), у нас нет вещественных корней для \(b\).

Теперь вернемся к первому уравнению:

\[a + b = 1\]

Подставим найденные значения для переменной \(b\) в это уравнение и получим значения переменной \(a\).

Таким образом, используя метод подстановки и решая получившуюся систему уравнений, мы можем найти значения переменных \(a\) и \(b\), а также, зная их значения, можем найти значение переменной \(t\), при котором исходное выражение равно 1.