Какое значение должно иметь переменная k, чтобы разность двух дробей 1/(k−8) и 5/(k+8) была равна их произведению?

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем разность двух дробей. Для этого вычтем вторую дробь из первой:
\(\frac{1}{k-8} - \frac{5}{k+8}\)

Шаг 2: Для удобства, найдем общий знаменатель для этих дробей. У нас есть два знаменателя: \(k-8\) и \(k+8\). Чтобы найти общий знаменатель, мы должны найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Шаг 2.1: Факторизуем знаменатели. Знаменатель \(k-8\) не факторизуется, но \(k+8\) можно представить в виде \(k+8 = (k-8) + 16\).

Шаг 2.2: Представим дроби с новыми знаменателями:
\(\frac{1}{k-8} - \frac{5}{(k-8) + 16}\)

Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{k-8} - \frac{5}{k-8+16}\)

Шаг 3.1: Упростим сложение в знаменателе:
\(\frac{1}{k-8} - \frac{5}{k+8}\)

Шаг 4: Теперь вычитаем дроби:
\(\frac{1}{k-8} - \frac{5}{k+8} = \frac{1(k+8)}{(k-8)(k+8)} - \frac{5(k-8)}{(k-8)(k+8)}\)

Шаг 4.1: Умножим числитель на скобки:
\(\frac{1(k+8)}{(k-8)(k+8)} - \frac{5(k-8)}{(k-8)(k+8)} = \frac{k+8}{(k-8)(k+8)} - \frac{5(k-8)}{(k-8)(k+8)}\)

Шаг 5: Теперь вычислим произведение двух дробей. Для этого умножим числителители:
\(\frac{1(k+8)}{(k-8)(k+8)} \cdot \frac{5(k-8)}{(k-8)(k+8)}\)

Шаг 5.1: Упростим знаменатель:
\(\frac{1(k+8)}{(k-8)(k+8)} \cdot \frac{5(k-8)}{(k-8)(k+8)} = \frac{5(k+8)(k-8)}{(k-8)(k+8)}\)

Шаг 5.2: Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
\(\frac{5(k+8)(k-8)}{(k-8)(k+8)} = \frac{5\cancel{(k+8)}\cancel{(k-8)}}{\cancel{(k-8)}\cancel{(k+8)}} = 5\)

Шаг 6: Получили, что разность двух дробей равна их произведению. Теперь записываем это в уравнение:
\[5 = 5\]

Шаг 7: Теперь находим \(k\), чтобы это уравнение было истинным.

Мы видим, что данное уравнение истинно для любого значения \(k\). То есть, нет конкретного значения, которое бы удовлетворяло этой задаче. Как результат - переменная \(k\) может быть любым.