Какое значение c должно быть, чтобы прямая y=4x+6 стала касательной к графику функции y=2x²+16x+c? Пожалуйста

Для того чтобы прямая \(y=4x+6\) стала касательной к графику функции \(y=2x^2+16x+c\), сначала найдем производную функции второго уравнения. Затем приравняем эту производную к угловому коэффициенту прямой \(4\) и решим полученное уравнение для определения значения \(c\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y=2x^2+16x+c\):

Чтобы найти производную функции \(y=2x^2+16x+c\), нужно применить правило дифференцирования для каждого слагаемого в функции. Зная, что производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\), получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(2x^2+16x+c) = 2 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^2) + 16 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x) + \frac{{d}}{{dx}}(c)
\]

Выполняя дифференцирование, получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2 \cdot 2x^1 + 16 \cdot 1 + 0 = 4x + 16
\]

Шаг 2: Приравняем производную функции к угловому коэффициенту прямой:

Теперь мы будем сравнивать производную функции \(4x+16\) с угловым коэффициентом прямой \(4\):

\[
4x+16 = 4
\]

Шаг 3: Решим уравнение для определения значения параметра \(c\):

Теперь решим данное уравнение относительно \(x\):

\[
4x = 4 - 16
\]

\[
4x = -12
\]

\[
x = -3
\]

Теперь зная значение \(x = -3\), мы сможем найти значение параметра \(c\) путем замены \(x\) в уравнение функции \(y = 2x^2 + 16x + c\):

\[
y = 2(-3)^2 + 16(-3) + c
\]

\[
y = 2 \cdot 9 - 48 + c
\]

\[
y = 18 - 48 + c
\]

\[
y = -30 + c
\]

Так как касательная проходит через точку \((-3, -6)\), то подставим координаты этой точки в функцию, чтобы найти значение \(c\):

\[
-6 = -30 + c
\]

\[
c = -6 + 30
\]

\[
c = 24
\]

Итак, чтобы прямая \(y=4x+6\) стала касательной к графику функции \(y=2x^2+16x+c\), параметр \(c\) должен быть равным \(24\).