Какое уравнение задаёт плоскость, проходящую через точку (7,1,0), параллельную плоскости 2x+3y-z-15=0 и пересекающую

Чтобы найти уравнение плоскости, у которой заданы условия, нам понадобится использовать знания о перпендикулярности векторов и уравнении плоскости.

1. Найдём направляющий вектор для плоскости 2x + 3y - z - 15 = 0. Для этого возьмём коэффициенты при x, y и z и положим их векторно: \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\).

2. Теперь обратимся к прямой x/1 = y - 1/4 = z - 3/2 и найдём направляющий вектор этой прямой. Мы знаем, что направляющий вектор прямой можно найти из коэффициентов при \(x\), \(y\) и \(z\) в её параметрическом уравнении. В данном случае, у нас есть, что \(x = t\) (где \(t\) - некоторый параметр), \(y = 1/4 + t\) и \(z = 3/2 + t\). То есть направляющий вектор прямой будет равен \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

3. Так как наша искомая плоскость должна быть параллельна плоскости 2x + 3y - z - 15 = 0, она должна иметь такой же направляющий вектор. То есть \(\vec{v_2}\) также является направляющим вектором для нашей плоскости.

4. Теперь у нас есть нормальный вектор \(\vec{n}\) для искомой плоскости. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому направляющему вектору на этой плоскости. Мы можем найти \(\vec{n}\) с помощью векторного произведения векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\). То есть:
\(\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).
\(\vec{n} = \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}\).

5. Для того чтобы найти уравнение плоскости с известным нормальным вектором \(\vec{n}\) и точкой, через которую проходит плоскость (7,1,0), можно использовать следующее уравнение плоскости:
\(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - коэффициенты вектора \(\vec{n}\), а \(x_0\), \(y_0\) и \(z_0\) - координаты точки, через которую должна проходить плоскость.

6. Вставим известные значения в уравнение плоскости:
\(3(x - 7) + 3(y - 1) + (-3)(z - 0) = 0\).

7. Приведём уравнение плоскости к каноническому виду:
\(3x - 21 + 3y - 3 + -3z = 0\).

8. Упростим уравнение:
\(3x + 3y - 3z - 24 = 0\).

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку (7,1,0), параллельной плоскости 2x + 3y - z - 15 = 0 и пересекающей прямую \(x/1 = y - 1/4 = z - 3/2\), будет иметь вид \(3x + 3y - 3z - 24 = 0\).