Какое уравнение плоскости параллельной вектору а = {5, -4, -5) и проходящей через отрезки a = -2 и b = 4 на осях

Для нахождения уравнения плоскости, параллельной заданному вектору и проходящей через две точки, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем направляющий вектор плоскости, чтобы он был параллелен вектору \(\vec{a}\). Для этого просто возьмем вектор \(\vec{d} = \vec{a} = (5, -4, -5)\).

2. Зная направляющий вектор \(\vec{d}\), мы можем записать уравнение плоскости в векторной форме:

\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0\),

где \(\vec{n}\) - нормальный вектор плоскости, \(\vec{r}\) - вектор точки на плоскости, \(\vec{r_0}\) - вектор точки, через которую плоскость должна проходить.

3. Найдем нормальный вектор плоскости \(\vec{n}\) с помощью векторного произведения. Векторное произведение двух векторов даёт вектор, перпендикулярный обоим векторам. Нулевой вектор имеет нулевую длину, поэтому вектор \(\vec{n}\) обязан быть ненулевым.

Берем в качестве второго вектора, например, вектор, идущий по оси OX: \(\vec{v1} = (1, 0, 0)\).

Теперь вычислим искомый нормальный вектор, выполнив векторное произведение векторов \(\vec{d}\) и \(\vec{v1}\):

\(\vec{n} = \vec{d} \times \vec{v1}\).

4. Найти точку \(\vec{r_0}\), через которую проходит плоскость. Мы знаем, что плоскость проходит через отрезки a и b на осях OX и OY соответственно. То есть, точка \(\vec{r_0}\) будет иметь координаты \((a, b, 0)\).

5. Составим уравнение плоскости, подставив найденные значения \(\vec{n}\) и \(\vec{r_0}\) в векторную форму плоскости:

\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0\).

В нашем случае получим:

\((\vec{d} \times \vec{v1}) \cdot (\vec{r} - (-2,4,0)) = 0\).

Окончательное уравнение имеет вид:

\((5,-4,-5) \times (1,0,0) \cdot (x+2, y-4, z) = 0\).

Вычислим значения векторного произведения \((5,-4,-5) \times (1,0,0)\) и получим окончательное уравнение плоскости:

\((-4,-5,4) \cdot (x+2, y-4, z) = 0\).

Таким образом, уравнение плоскости, параллельной вектору \((5,-4,-5)\) и проходящей через отрезки \(-2\) и \(4\) на осях OX и OY соответственно, имеет вид:

\((-4)(x+2) + (-5)(y-4) + (4)(z) = 0\).