Какое уравнение параболы будет симметричное относительно оси $ox$ и имеющее вершину в начале координат, если длина

Для начала, зададим уравнение параболы в общем виде \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, которые мы должны определить.

Мы знаем, что парабола симметрична относительно оси \(ox\), а её вершина находится в начале координат. Это означает, что у нас есть или \(b = 0\) или \(c = 0\). Так как мы хотим получить подробный ответ, рассмотрим оба случая по отдельности.

1) Пусть \(b = 0\):
Дано, что длина хорды, перпендикулярной оси \(ox\), составляет 16 единиц. Это означает, что две точки хорды будут на расстоянии 8 единиц от начала координат. Пусть эти точки имеют координаты \((8, y_1)\) и \((-8, y_2)\).

Так как парабола симметрична, имеем \(y_1 = y_2\), а также, как уже отмечали, \(b = 0\) и \(c = 0\). Осталось определить коэффициент \(a\).

Подставим значения точек хорды в уравнение параболы:
\[
y_1 = a \cdot 8^2 + 0 + 0 \quad \text{и} \quad y_2 = a \cdot (-8)^2 + 0 + 0
\]

Поскольку \(y_1 = y_2\), получаем:
\[
a \cdot 8^2 = a \cdot (-8)^2
\]
\[
64a = 64a
\]

Очевидно, что уравнение выполняется для любого значения \(a\), поэтому в этом случае уравнение параболы будет выглядеть следующим образом: \(y = ax^2\).

2) Пусть \(c = 0\):
Перейдем к рассмотрению второго случая, где \(c = 0\). Поскольку у нас парабола симметрична относительно оси \(ox\) и имеет вершину в начале координат, уравнение параболы в этом случае будет иметь вид \(y = ax^2 + bx\). Опять же, нам нужно определить коэффициенты \(a\) и \(b\).

Мы знаем, что расстояние от вершины параболы до хорды равно 16 единицам. Пусть вершина параболы находится в точке \((0, y_0)\), где \(y_0\) - значение \(y\) в вершине (в начале координат).

Так как две точки хорды находятся на расстоянии 8 единиц от начала координат, то координаты этих точек будут \((8, y_1)\) и \((-8, y_2)\).

Мы также знаем, что расстояние от вершины параболы до хорды равно \(y_0 - y_1\) и \(y_0 - y_2\).

Учитывая эти условия, текущая ситуация кодируется следующей системой уравнений:
\[
\begin{cases}
y_0 - y_1 = 16 \\
y_0 - y_2 = 16 \\
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, найдем значения \(y_0\), \(y_1\) и \(y_2\). Подставим эти значения в уравнение параболы \(y = ax^2 + bx\).

Таким образом, решением задачи будет нахождение \(a\), \(b\) и \(c\) с учетом определенных условий в каждом из рассмотренных случаев и запись соответствующего уравнения параболы.