Какое уравнение окружности проходит через точки a(3; 1) и b(-1; 3), и имеет свой центр на прямой с уравнением 3x-y-2=0?

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через заданные точки и имеющей центр на заданной прямой, мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем координаты центра окружности.
Для этого нам понадобится найти середину отрезка между заданными точками a(3; 1) и b(-1; 3). Формула для нахождения координат середины отрезка (x,y) между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) выглядит следующим образом:
\[
x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}
\]
\[
y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}
\]

Подставляем значения координат точек a и b:
\[
x = \frac{{3 + (-1)}}{2} = 1
\]
\[
y = \frac{{1 + 3}}{2} = 2
\]

Таким образом, координаты центра окружности равны (1, 2).

2. Найдем радиус окружности.
Радиус окружности равен расстоянию между центром и любой точкой на окружности. Мы можем использовать одну из заданных точек, например, точку a(3; 1).
Формула для расстояния между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) выглядит следующим образом:
\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставляем координаты центра окружности (1, 2) и координаты точки a(3; 1):
\[
d = \sqrt{{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{4 + 1}} = \sqrt{5}
\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{5}\).

3. Найдем уравнение окружности.
Уравнение окружности можно записать в виде:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус.
Подставляем найденные значения:
\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2
\]
\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
\]

Итак, уравнение окружности, проходящей через точки a(3; 1) и b(-1; 3) и имеющей свой центр на прямой с уравнением 3x-y-2=0, равно:
\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
\]